Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
c) , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de ordem 20 da função avaliada em . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Maclaurin, que nos ajudam a expandir funções em potências de e identificar as derivadas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma forma de expressar uma função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . A série de Maclaurin para uma função é dada por:
Aqui, representa a derivada de ordem de avaliada em 0.

Passo 3

Vamos expandir usando a série de Maclaurin. Sabemos que:
Aqui, substituímos por :

Passo 4

Agora, queremos encontrar a derivada de ordem 20, ou seja, o termo envolvendo na série. Observando a expressão acima, vemos que será igual a quando . Resolvendo para :
Então, o termo correspondente é:

Passo 5

Sabemos que, na série de Maclaurin:
Comparando com o termo , temos:

Passo 6

Para encontrar , basta multiplicar ambos os lados por :
Podemos simplificar isso para:

Resposta

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