Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
c)
, onde
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de ordem 20 da função
avaliada em
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Maclaurin, que nos ajudam a expandir funções em potências de
e identificar as derivadas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma forma de expressar uma função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. A série de Maclaurin para uma função
é dada por:
Aqui,
representa a derivada de ordem
de
avaliada em 0.
Passo 3
Vamos expandir
usando a série de Maclaurin. Sabemos que:
Aqui, substituímos
por
:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a derivada de ordem 20, ou seja, o termo envolvendo
na série. Observando a expressão acima, vemos que
será igual a
quando
. Resolvendo para
:
Então, o termo correspondente é:
Passo 5
Sabemos que, na série de Maclaurin:
Comparando com o termo
, temos:
Passo 6
Para encontrar
, basta multiplicar ambos os lados por
:
Podemos simplificar isso para:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
a) e
, onde
a)
A função
é solução de quais equações abaixo?
Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
04)
04)