Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
a) e , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor das derivadas de ordem 15 e 28 de no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de ordens superiores e séries de Taylor para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a derivada de ordem de uma função no ponto 0, podemos usar a série de Taylor. A função pode ser expandida em uma série de potências, e os coeficientes dessa série nos ajudam a encontrar as derivadas de qualquer ordem.

Passo 3

Sabemos que a série de Taylor da função é:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso significa que a série de Taylor de é:

Passo 4

A derivada de ordem de no ponto 0, , é dada por:
é
Então, precisamos encontrar o coeficiente de e na série que encontramos.

Passo 5

Observando a série:
O expoente de é . Para encontrar o coeficiente de , resolvemos:
Como precisa ser inteiro, não existe termo com . Portanto, o coeficiente de é 0.

Passo 6

Agora, para :
Então, o coeficiente de é:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula das derivadas:
Para :
Para :

Resposta

e .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
15)
Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
c) , onde
A função é solução de quais equações abaixo?