Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
a)
e
, onde
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor das derivadas de ordem 15 e 28 de no ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de ordens superiores e séries de Taylor para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a derivada de ordem
de uma função no ponto 0, podemos usar a série de Taylor. A função pode ser expandida em uma série de potências, e os coeficientes dessa série nos ajudam a encontrar as derivadas de qualquer ordem.
Passo 3
Sabemos que a série de Taylor da função é:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso significa que a série de Taylor de é:
Passo 4
A derivada de ordem
de
no ponto 0,
, é dada por:
Então, precisamos encontrar o coeficiente de
e
na série que encontramos.
Passo 5
Observando a série:
O expoente de
é
. Para encontrar o coeficiente de
, resolvemos:
Como
precisa ser inteiro, não existe termo com
. Portanto, o coeficiente de
é 0.
Passo 6
Agora, para
:
Então, o coeficiente de
é:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula das derivadas:
Para
:
Para
:
Resposta
Exercícios relacionados
Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
15)
15)
Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
c) , onde
c)
A função
é solução de quais equações abaixo?