Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
b) f^(16)(0), onde f(x) = cos(x^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar o valor da 16ª derivada de ordem superior de avaliada em , ou seja, . Para isso, vamos utilizar a série de Taylor da função cosseno e identificar o coeficiente do termo apropriado.

Passo 2

Sabemos que a série de Taylor para em torno de 0 é dada por:
No nosso caso, , então substituindo:

Passo 3

A série de Taylor nos permite expressar a função como uma soma de potências de . Cada termo possui um coeficiente , e a derivada -ésima de em 0 está relacionada a esse coeficiente por:
Precisamos encontrar o coeficiente de , já que estamos buscando .

Passo 4

Observando a série de , vemos que os expoentes de são múltiplos de 4, ou seja, . Para , temos , o que implica que .
Então, o coeficiente é:

Passo 5

Agora, calculamos usando a relação mencionada:
Calculando :

Resposta

O valor da 16ª derivada de em é .

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