Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
b)
, onde
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar o valor da 16ª derivada de ordem superior de
avaliada em
, ou seja,
. Para isso, vamos utilizar a série de Taylor da função cosseno e identificar o coeficiente do termo apropriado.
Passo 2
Sabemos que a série de Taylor para
em torno de 0 é dada por:
No nosso caso,
, então substituindo:
Passo 3
A série de Taylor nos permite expressar a função como uma soma de potências de
. Cada termo
possui um coeficiente
, e a derivada
-ésima de
em 0 está relacionada a esse coeficiente por:
Precisamos encontrar o coeficiente de
, já que estamos buscando
.
Passo 4
Observando a série de
, vemos que os expoentes de
são múltiplos de 4, ou seja,
. Para
, temos
, o que implica que
.
Então, o coeficiente
é:
Passo 5
Agora, calculamos
usando a relação mencionada:
Calculando
:
Resposta
O valor da 16ª derivada de
em
é
.