Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
04) sum0^infty (-1)^n(x-1)^nn+1

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty (-1)^n(x-1)^nn+1
Aqui, a matéria envolvida é séries de potências e, para determinar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Isso nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se o limite
an = (-1)^n(x-1)^nn+1
existo e an+1an = (-1)^n+1(x-1)^n+1(n+2) times n+1(-1)^n(x-1)^n = -(x-1)n+2 times (n+1) , a série converge absolutamente.
Vamos identificar | an+1an | = | (x-1)(n+1)n+2 | = |x-1| times n+1n+2 na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Tomando o valor absoluto e simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x-1| times n+1n+2 tende ao infinito:
limn to infty n+1n+2 = 1
Observamos que:
L = |x-1| times 1 = |x-1|
Portanto,
|x - 1| < 1
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 4

Essa desigualdade nos dá o intervalo central de convergência. Vamos resolver:
|x - 1| < 1 implies -1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2
Então, a série converge para entre 0 e 2. Mas precisamos verificar os pontos finais e para ver se eles também estão incluídos no intervalo.

Passo 5

Verificando sumn=0^infty (-1)^n(0-1)^nn+1 = sumn=0^infty (-1)^n(-1)^nn+1 = sumn=0^infty 1n+1 :
Substituindo na série:
sumn=0^infty (-1)^n(2-1)^nn+1 = sumn=0^infty (-1)^nn+1
Essa é a série harmônica, que não converge. Então, não está no intervalo.
Verificando :
Substituindo na série:
Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada. Então, está incluído.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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