Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
04)

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Aqui, a matéria envolvida é séries de potências e, para determinar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Isso nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se o limite
existo e , a série converge absolutamente.
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Tomando o valor absoluto e simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Observamos que:
Portanto,
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 4

Essa desigualdade nos dá o intervalo central de convergência. Vamos resolver:
Então, a série converge para entre 0 e 2. Mas precisamos verificar os pontos finais e para ver se eles também estão incluídos no intervalo.

Passo 5

Verificando :
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica, que não converge. Então, não está no intervalo.
Verificando :
Substituindo na série:
Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada. Então, está incluído.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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