Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
15) sum0^infty (x+1)^5 n(n+1) 5^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Basicamente, queremos saber para quais valores de essa série “funciona” ou seja, soma a um valor finito. Para isso, vamos usar o teste da raiz, que é uma ferramenta bacana para analisar a convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Nosso objetivo é encontrar o limite da raiz n-ésima desse termo quando tende ao infinito.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz, calculamos:
L = limn to infty raiz[n]| (x+1)^5n(n+1) 5^n |
Simplificando dentro da raiz:
L = limn to infty |x+1|^55 cdot raiz[n]1n+1

Passo 4

Observamos que L = |x+1|^55 cdot 1 = |x+1|^55 . Sabemos que , então:

Passo 5

Para a série convergir, o limite |x+1|^55 < 1 precisa ser menor que 1:
|x+1|^5 < 5
Multiplicando ambos os lados por 5:

Passo 6

Agora, tiramos a quinta raiz de ambos os lados para resolver para |x+1| < raiz[5]5 :
Isso significa que está a uma distância menor que de 0.

Passo 7

Então, isolando - raiz[5]5 < x + 1 < raiz[5]5 :
-1 - raiz[5]5 < x < -1 + raiz[5]5
Subtraindo 1 de todas as partes da desigualdade:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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