Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências e a gente precisa descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, para quais a soma dos termos da série não “explode” e dá um número finito. A série que estamos analisando é:
Para resolver isso, a gente vai usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem útil para verificar a convergência de séries. Mas relaxa, vou explicar tudinho!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Nesse caso, o termo geral é:
A ideia do Teste da Razão é comparar o termo com e ver o que acontece quando tende ao infinito. Se o limite da razão for menor que 1, a série converge.
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty (x-1)^2(2n-2)(2n-3) = 0 tende ao infinito:
Passo 5
Como o limite é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de . Ou seja, não há restrição para , e a série converge em todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A série converge para todos os valores de , ou seja, o intervalo de convergência é .