Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
d)
, onde
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor da 17ª derivada de ordem superior de uma função no ponto 0. A função dada é
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e séries de Taylor, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que
é a integral de
de 0 até
. Para encontrar a derivada dessa função, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a primeira derivada de uma integral definida com limite superior
é simplesmente a função integranda avaliada em
.
Então,
Passo 3
Agora, para encontrar derivadas de ordens superiores, vamos derivar
repetidamente. Mas ao invés de fazer isso manualmente 17 vezes, vamos usar uma abordagem mais inteligente utilizando séries de Taylor.
Sabemos que a função
pode ser expandida em uma série de potências:
Passo 4
Integrando termo a termo essa série de potências de 0 até
, obtemos:
Passo 5
Agora, para encontrar a 17ª derivada de
no ponto 0, precisamos olhar para a expansão em série de Taylor de
. A n-ésima derivada de
no ponto 0 está relacionada ao coeficiente de
na série de Taylor.
No nosso caso, temos:
Passo 6
Como queremos a 17ª derivada, que é ímpar, identificamos que
. Resolvendo para
:
Portanto,
Passo 7
Agora, vamos calcular
e
:
Dividindo os dois:
Resposta
Então, o valor da 17ª derivada de
no ponto 0 é
.
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