Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada.
d) f^(17)(0), onde f(x)=integral0^x e^-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor da 17ª derivada de ordem superior de uma função no ponto 0. A função dada é . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e séries de Taylor, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que f'(x) = e^-x^2 é a integral de de 0 até . Para encontrar a derivada dessa função, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a primeira derivada de uma integral definida com limite superior é simplesmente a função integranda avaliada em .
Então,

Passo 3

Agora, para encontrar derivadas de ordens superiores, vamos derivar e^-t^2 = sumn=0^infty (-1)^n t^2nn! repetidamente. Mas ao invés de fazer isso manualmente 17 vezes, vamos usar uma abordagem mais inteligente utilizando séries de Taylor.
Sabemos que a função pode ser expandida em uma série de potências:

Passo 4

Integrando termo a termo essa série de potências de 0 até f(x) = integral0^x e^-t^2 , dt = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n!(2n+1) , obtemos:

Passo 5

Agora, para encontrar a 17ª derivada de f^(k)(0) = 0, & se k for par (-1)^n (2n)!n!, & se k = 2n+1 no ponto 0, precisamos olhar para a expansão em série de Taylor de . A n-ésima derivada de no ponto 0 está relacionada ao coeficiente de na série de Taylor.
No nosso caso, temos:

Passo 6

Como queremos a 17ª derivada, que é ímpar, identificamos que n = 17 - 12 = 8 . Resolvendo para f^(17)(0) = (-1)^8 (16)!8! = (16)!8! :
Portanto,

Passo 7

Agora, vamos calcular 16! = 20.922.789.888.000 e 8! = 40.320 :
16!8! = 20.922.789.888.00040.320 = 518.918.400
Dividindo os dois:

Resposta

Então, o valor da 17ª derivada de no ponto 0 é .

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