Use o Teorema de Stokes para encontrar o valor de
|integral duplaS rot(F) d S|
em que F=(y,-x, y x^3) e S é a porção da esfera de raio 4 com z >= 0
a) pi
b) 4 pi
c) 8 pi
d) 32 pi
e) 64 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular o valor absoluto de uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial. A função dada é e a superfície é a parte da esfera de raio 4 onde (ou seja, a metade superior da esfera). Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a superfícies fechadas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha desse campo ao longo da fronteira da superfície. A fórmula é:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointC F cdot dr
Aqui, é a curva que delimita a superfície .

Passo 3

No nosso caso, a superfície é a metade superior da esfera de raio 4. A fronteira dessa superfície, , é o círculo onde e a esfera corta o plano . Então, é um círculo de raio 4 no plano .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva r(theta) = (4costheta, 4sintheta, 0), theta in [0, 2pi] . Podemos usar coordenadas polares para isso. Uma parametrização conveniente de drdtheta = (-4sintheta, 4costheta, 0) é:
dr = drdtheta dtheta = (-4sintheta, 4costheta, 0) dtheta
Derivando em relação a , obtemos:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular F = (y, -x, yx^3) = (4sintheta, -4costheta, (4sintheta)(4costheta)^3) ao longo da curva y x^3 = 4sintheta cdot (4costheta)^3 = 4sintheta cdot 64cos^3theta = 256 sintheta cos^3theta . Substituindo F = (4sintheta, -4costheta, 256 sintheta cos^3theta) na função :
Simplificando a terceira componente:
Então,

Passo 6

Vamos agora calcular o produto escalar F cdot dr = (4sintheta)(-4sintheta) + (-4costheta)(4costheta) + 256 sintheta cos^3theta cdot 0 :
F cdot dr = -16sin^2theta -16cos^2theta + 0 = -16(sin^2theta + cos^2theta)
Simplificando:
F cdot dr = -16
Como , temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar isso ao longo de ointC F cdot dr = integral0^2pi -16 dtheta = -16 cdot 2pi = -32pi :

Passo 8

Finalmente, queremos o valor absoluto dessa integral:
| integral duplaS rot(F) d S | = | -32pi | = 32pi

Resposta

A resposta correta é a opção d) .

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