A função
f(x, y) = { (x^3 - y) / (x^3 + y^3) se (x, y) ≠ (0, 0) | 0 se (x, y) = (0, 0) }
é diferenciável no ponto (0,0) ? Justifique.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício aqui que pergunta se a função
é diferenciável no ponto (0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis, verificar a continuidade da função nesse ponto e calcular as derivadas parciais. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto (0,0). A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade.
Para isso, precisamos calcular o limite de quando (x,y) se aproxima de (0,0) e ver se esse limite é igual a f(0, 0), que é 0.
Vamos calcular:

Passo 3

Para simplificar, podemos analisar o limite ao aproximar (0,0) por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos os casos.
Caso 1: Suponha que , onde k é uma constante.
Substituindo na função:
À medida que , o denominador tende a 0 mais rápido que o numerador, fazendo o limite tender a infinito ou menos infinito, dependendo do sinal de x.
Isso indica que o limite não existe de forma única, ou seja, a função não é contínua em (0,0).

Passo 4

Como a função não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então se a função não é contínua, definitivamente não é diferenciável.

Resposta

A função f(x, y) não é diferenciável no ponto (0,0) porque não é contínua nesse ponto.

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