A função
é diferenciável no ponto
? Justifique.
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício aqui que pergunta se a função
é diferenciável no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis, verificar a continuidade da função nesse ponto e calcular as derivadas parciais. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto
. A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade.
Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
, que é
.
Vamos calcular:
Passo 3
Para simplificar, podemos analisar o limite ao aproximar
por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos os casos.
Caso 1: Suponha que
, onde
é uma constante.
Substituindo na função:
À medida que
, o denominador tende a
mais rápido que o numerador, fazendo o limite tender a infinito ou menos infinito, dependendo do sinal de
.
Isso indica que o limite não existe de forma única, ou seja, a função não é contínua em
.
Passo 4
Como a função não é contínua em
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então se a função não é contínua, definitivamente não é diferenciável.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
porque não é contínua nesse ponto.