Seja uma região sólida de . Use a definição de integral tripla para explicar porque é igual ao volume de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de integral tripla para mostrar por que integrar a função constante 1 sobre uma região sólida em resulta no volume dessa região. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas e como elas podem calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Em cálculo, uma integral tripla nos permite somar os valores de uma função em todo o volume . Aqui, representa um pequeno volume elementar no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, se a função for igual a 1 em todo o volume , a integral tripla basicamente está somando 1 em cada pequeno volume dentro de . Ou seja, estamos apenas contando o total de todos esses pequenos pedaços de volume que, juntos, formam o volume total de .

Resposta

Portanto, é igual ao volume da região sólida .

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