Seja
uma região sólida de
. Use a definição de integral tripla para explicar porque
é igual ao volume de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de integral tripla para mostrar por que integrar a função constante 1 sobre uma região sólida
em
resulta no volume dessa região. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas e como elas podem calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Em cálculo, uma integral tripla
nos permite somar os valores de uma função
em todo o volume
. Aqui,
representa um pequeno volume elementar no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, se a função
for igual a 1 em todo o volume
, a integral tripla
basicamente está somando 1 em cada pequeno volume dentro de
. Ou seja, estamos apenas contando o total de todos esses pequenos pedaços de volume que, juntos, formam o volume total de
.
Resposta
Portanto,
é igual ao volume da região sólida
.