Se f é uma função contínua e não negativa em [a, b], então a integral integrala^b f(x) d x é exatamente a área da região abaixo do gráfico de f e acima do eixo O x. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
integral-1^1(4+3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais! A gente tem uma função contínua e não negativa no intervalo de -1 a 1, e a integral integral-1^1 (4 + 3x) d x representa a área abaixo do gráfico dessa função e acima do eixo x. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais definidas e interpretar o gráfico da função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando: f(x) = 4 + 3x. Essa é uma função linear, ou seja, seu gráfico é uma linha reta. Vamos analisar os pontos principais no intervalo de -1 a 1 para desenhar o gráfico.

Passo 3

Vamos calcular os valores de f(x) nos extremos do intervalo:
  • Quando x = -1: f(-1) = 4 + 3(-1) = 4 - 3 = 1
  • Quando x = 1: f(1) = 4 + 3(1) = 4 + 3 = 7
Então, no ponto (-1, 1) a função começa e no ponto (1, 7) ela termina. Como é uma linha reta, sabemos que todos os valores entre esses pontos também serão positivos, confirmando que f(x) é não negativa no intervalo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral-1^1 (4 + 3x) d x. Para isso, vamos encontrar a antiderivada de f(x).
A antiderivada de 4 é 4x, e a antiderivada de 3x é 32x^2. Então, a antiderivada de f(x) é:
F(x) = 4x + 32x^2

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(x) d x = F(b) - F(a)
Substituindo a = -1 e b = 1, temos:
integral-1^1 (4 + 3x) d x = [4(1) + 32(1)^2] - [4(-1) + 32(-1)^2]

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Para x = 1:
4(1) + 32(1)^2 = 4 + 32 = 112
Para x = -1:
4(-1) + 32(-1)^2 = -4 + 32 = -52

Passo 7

Subtraindo o valor em x = -1 do valor em x = 1:
112 - (-52) = 112 + 52 = 162 = 8

Resposta

A integral integral-1^1 (4 + 3x) d x é igual a 8.

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