Se é uma função contínua e não negativa em , então a integral é exatamente a área da região abaixo do gráfico de e acima do eixo . Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais! A gente tem uma função contínua e não negativa no intervalo de a , e a integral representa a área abaixo do gráfico dessa função e acima do eixo . Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais definidas e interpretar o gráfico da função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando: . Essa é uma função linear, ou seja, seu gráfico é uma linha reta. Vamos analisar os pontos principais no intervalo de a para desenhar o gráfico.

Passo 3

Vamos calcular os valores de nos extremos do intervalo:
  • Quando :
  • Quando :
Então, no ponto a função começa e no ponto ela termina. Como é uma linha reta, sabemos que todos os valores entre esses pontos também serão positivos, confirmando que é não negativa no intervalo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, vamos encontrar a antiderivada de .
A antiderivada de é , e a antiderivada de é . Então, a antiderivada de é:

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
Substituindo e , temos:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo o valor em do valor em :

Resposta

A integral é igual a .

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Se é uma função contínua e não negativa em , então a integral é exatamente a área da região abaixo do gráfico de e acima do eixo . Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Encontre o valor de
, para
Se é uma função contínua e não negativa em , então a integral é exatamente a área da região abaixo do gráfico de e acima do eixo . Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Calcule as integrais definidas abaixo.