Se
é uma função contínua e não negativa em
, então a integral
é exatamente a área da região abaixo do gráfico de
e acima do eixo
. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais! A gente tem uma função contínua e não negativa no intervalo de
a
, e a integral
representa a área abaixo do gráfico dessa função e acima do eixo
. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais definidas e interpretar o gráfico da função no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando:
. Essa é uma função linear, ou seja, seu gráfico é uma linha reta. Vamos analisar os pontos principais no intervalo de
a
para desenhar o gráfico.
Passo 3
Vamos calcular os valores de
nos extremos do intervalo:
- Quando
: - Quando
:
Então, no ponto
a função começa e no ponto
ela termina. Como é uma linha reta, sabemos que todos os valores entre esses pontos também serão positivos, confirmando que
é não negativa no intervalo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, vamos encontrar a antiderivada de
.
A antiderivada de
é
, e a antiderivada de
é
. Então, a antiderivada de
é:
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
Substituindo
e
, temos:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo o valor em
do valor em
:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Se
é uma função contínua e não negativa em
, então a integral
é exatamente a área da região abaixo do gráfico de
e acima do eixo
. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Encontre o valor de
, para
Se
é uma função contínua e não negativa em
, então a integral
é exatamente a área da região abaixo do gráfico de
e acima do eixo
. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Calcule as integrais definidas abaixo.