(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b)
, onde
é o sólido limitado pelas superfícies
.
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla da função
sobre uma região sólida
. Essa região
é delimitada por três superfícies:
-
– que é uma cone. -
– que representa uma parte de uma esfera com raio 1. -
– que representa uma parte de uma esfera com raio 2.
Para resolver essa integral, vamos usar uma mudança de variáveis adequada. Como as equações envolvem
, vamos optar por coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para lidar com simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a gente representa um ponto no espaço por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo . -
é o ângulo em relação ao eixo . -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A vantagem disso é que a expressão
se simplifica para
, o que facilita bastante na hora de integrar.
Passo 3
Vamos então fazer a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas. As relações ficam assim:
E o elemento de volume
se transforma em
.
Além disso, nossa função
continua em termos de
, já que
não muda.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
.
-
Ângulo
: Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a . -
Raio
: Precisamos encontrar os valores de onde as superfícies se encontram. Essas interseções vão determinar os limites inferiores e superiores para . -
Altura
: Para cada , varia entre o cone e as duas esferas.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as superfícies.
Primeiro, igualamos as equações dos cones com as das esferas para achar os valores de
.
- Entre o cone
e a esfera menor :
- Entre o cone
e a esfera maior :
Então,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, para cada valor de
dentro desse intervalo,
varia entre o cone e as duas esferas:
- Debaixo:
(cone) - Acima: entre
e
Portanto, a integral tripla fica dividida em duas partes:
- De
até - De
até
Passo 7
Vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas. A integral tripla fica assim:
Passo 8
Vamos resolver as integrais internas com respeito a
.
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites:
- Para a primeira parte:
- Para a segunda parte:
Passo 9
Agora, substituímos essas expressões de volta na integral e simplificamos:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos integrar em relação a
e
. Observando a simetria em
, a integral em
simplesmente multiplica o resultado por
. Focamos então na parte em
:
Essas integrais podem ser resolvidas por substituição:
- Para
, fazemos , então . - Para
, fazemos , então .
Após resolver essas integrais, substituímos os limites e somamos os resultados.
Passo 11
Depois de resolver todas as integrais, chegamos ao valor final. O resultado da integral tripla é:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Resolver os problemas de valor inicial.
Encontre o valor de
para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de
.
(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(e) , onde
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(e)
Escrever a função comprimento de arco de:
e)
e)