(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b) integral triplaW 1z^2 d x d y d z, onde W é o sólido limitado pelas superfícies z=raizx^2+y^2, z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla da função sobre uma região sólida . Essa região é delimitada por três superfícies:
  1. – que é uma cone.
  2. – que representa uma parte de uma esfera com raio 1.
  3. – que representa uma parte de uma esfera com raio 2.
Para resolver essa integral, vamos usar uma mudança de variáveis adequada. Como as equações envolvem , vamos optar por coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para lidar com simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a gente representa um ponto no espaço por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo .
  • é o ângulo em relação ao eixo .
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A vantagem disso é que a expressão se simplifica para , o que facilita bastante na hora de integrar.

Passo 3

Vamos então fazer a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas. As relações ficam assim:
E o elemento de volume se transforma em .
Além disso, nossa função continua em termos de , já que não muda.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para , e .
  1. Ângulo : Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a .
  2. Raio : Precisamos encontrar os valores de onde as superfícies se encontram. Essas interseções vão determinar os limites inferiores e superiores para .
  3. Altura : Para cada , varia entre o cone e as duas esferas.

Passo 5

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as superfícies.
Primeiro, igualamos as equações dos cones com as das esferas para achar os valores de r = raiz1 - r^2 .
  1. Entre o cone r^2 = 1 - r^2 e a esfera menor 2r^2 = 1 :
r = raiz22
r = raiz4 - r^2
r^2 = 4 - r^2
2r^2 = 4
  1. Entre o cone r = raiz2 e a esfera maior :
Então, varia de a .

Passo 6

Agora, para cada valor de dentro desse intervalo, varia entre o cone e as duas esferas:
  • Debaixo: (cone)
  • Acima: entre e
Portanto, a integral tripla fica dividida em duas partes:
  1. De até
  2. De até

Passo 7

Vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas. A integral tripla fica assim:
integral triplaW 1z^2 , dx,dy,dz = integral0^2pi integralraiz22^raiz2 integralr^raiz1 - r^2 1z^2 cdot r , dz,dr,dtheta + integral0^2pi integralraiz22^raiz2 integralr^raiz4 - r^2 1z^2 cdot r , dz,dr,dtheta

Passo 8

Vamos resolver as integrais internas com respeito a integral 1z^2 , dz = -1z .
A integral de -1raiz1 - r^2 + 1r em relação a -1raiz4 - r^2 + 1r é:
Aplicando os limites:
  1. Para a primeira parte:
  1. Para a segunda parte:

Passo 9

Agora, substituímos essas expressões de volta na integral e simplificamos:
integral triplaW 1z^2 , dx,dy,dz = integral0^2pi integralraiz22^raiz2 ( -1raiz1 - r^2 + 1r ) r , dr,dtheta + integral0^2pi integralraiz22^raiz2 ( -1raiz4 - r^2 + 1r ) r , dr,dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integralraiz22^raiz2 ( -rraiz1 - r^2 + 1 ) dr,dtheta + integral0^2pi integralraiz22^raiz2 ( -rraiz4 - r^2 + 1 ) dr,dtheta

Passo 10

Agora, vamos integrar em relação a 2pi [ integralraiz22^raiz2 ( -rraiz1 - r^2 + 1 ) dr + integralraiz22^raiz2 ( -rraiz4 - r^2 + 1 ) dr ] e . Observando a simetria em , a integral em simplesmente multiplica o resultado por . Focamos então na parte em :
Essas integrais podem ser resolvidas por substituição:
  1. Para , fazemos , então .
  2. Para , fazemos , então .
Após resolver essas integrais, substituímos os limites e somamos os resultados.

Passo 11

Depois de resolver todas as integrais, chegamos ao valor final. O resultado da integral tripla é:
2pi ( raiz2 - pi2 + pi2 ) = 2pi cdot raiz2

Resposta

O valor da integral tripla é .

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