Resolver os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem a equação diferencial:
E o valor inicial dado é
. A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial:
Para ver se a equação é exata, a gente verifica se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque a constante de integração pode depender de
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Comparando os dois lados:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 7
Portanto, a função potencial é:
E a solução geral da equação diferencial exata é:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou, resolvendo para
:
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Encontre o valor de
para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de
.
Um tanque para armazenamento de gás propano é construído soldando dois hemisférios nas extremidades de um cilindro circular reto. Escreva o volume do tanque como uma função de
e
, onde
é o raio do cilindro e os hemisférios, e
é a largura do cilindro.
(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b) , onde
é o sólido limitado pelas superfícies
.
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b)
(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(e) , onde
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(e)