Resolver os problemas de valor inicial. 3 x^2 y^4 dx + 4 x^3 y^3 dy = 0, y(1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem a equação diferencial:
E o valor inicial dado é . A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) e N(x, y) na equação diferencial:
Para ver se a equação é exata, a gente verifica se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos integrar M(x, y) em relação a x para encontrar .

Passo 5

Integrando M(x, y) em relação a x:
Aqui, é uma função de y que aparece porque a constante de integração pode depender de y.

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a y e igualar a N(x, y) para encontrar :
Comparando os dois lados:
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Passo 7

Portanto, a função potencial é:
E a solução geral da equação diferencial exata é:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou, resolvendo para y:

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