Verifique se são convergentes:
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita pra analisar:
. O objetivo aqui é verificar se essa série converge, ou seja, se ela soma a um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Série Geométrica e o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral do termo da série:
. Podemos separar essa fração em duas partes para facilitar a análise:
Isso simplifica para:
Agora, temos duas séries separadas: uma é uma série geométrica pura
e a outra é uma série geométrica com razão alternada
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
. Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1 (
), e converge para
, onde
é o primeiro termo.
Aqui,
, então a soma dessa série é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda série:
. Essa também é uma série geométrica, mas com razão
. Novamente, como
, essa série também converge.
A soma dessa série é:
Passo 5
Agora que analisamos as duas séries separadamente e sabemos que ambas convergem, podemos somar os resultados para encontrar a soma total da série original:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
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, entio prove que
.