Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty 3+(-1)^n3^n

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita pra analisar: . O objetivo aqui é verificar se essa série converge, ou seja, se ela soma a um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Série Geométrica e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral do termo da série: 33^n + (-1)^n3^n . Podemos separar essa fração em duas partes para facilitar a análise:
13^n-1 + (-13)^n
Isso simplifica para:
Agora, temos duas séries separadas: uma é uma série geométrica pura e a outra é uma série geométrica com razão alternada .

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: 11 - 13 = 123 = 32 . Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1 ( ), e converge para , onde é o primeiro termo.
Aqui, , então a soma dessa série é:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda série: -131 - -13 = -1343 = -14 . Essa também é uma série geométrica, mas com razão . Novamente, como , essa série também converge.
A soma dessa série é:

Passo 5

Agora que analisamos as duas séries separadamente e sabemos que ambas convergem, podemos somar os resultados para encontrar a soma total da série original:
32 + (-14) = 64 - 14 = 54

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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