Encontre o valor máximo absoluto da função f(x) = -x^2 + 4x no intervalo [0, 3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo absoluto da função no intervalo de de 0 até 3. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e cálculo de máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa valor máximo absoluto. Basicamente, é o maior valor que a função atinge no intervalo dado. Para encontrar isso, a gente precisa olhar tanto os pontos críticos da função quanto os limites do intervalo.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Como nossa função é , que é uma função polinomial, a derivada sempre existe. Então, vamos calcular a derivada:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero para achar os pontos críticos:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do intervalo [0, 3]. Como está entre 0 e 3, ele é válido para a nossa análise.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo e no ponto crítico encontrado. Ou seja, vamos calcular , e .
Calculando cada um:

Passo 7

Comparando os valores:
O maior valor entre eles é , que ocorre em .

Resposta

O valor máximo absoluto da função no intervalo [0, 3] é 4, atingido quando .

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