Encontre o valor máximo absoluto da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo absoluto da função
no intervalo de
de 0 até 3. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e cálculo de máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa valor máximo absoluto. Basicamente, é o maior valor que a função atinge no intervalo dado. Para encontrar isso, a gente precisa olhar tanto os pontos críticos da função quanto os limites do intervalo.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Como nossa função é
, que é uma função polinomial, a derivada sempre existe. Então, vamos calcular a derivada:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero para achar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do intervalo [0, 3]. Como
está entre 0 e 3, ele é válido para a nossa análise.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo e no ponto crítico encontrado. Ou seja, vamos calcular
,
e
.
Calculando cada um:
Passo 7
Comparando os valores:
O maior valor entre eles é
, que ocorre em
.
Resposta
O valor máximo absoluto da função
no intervalo [0, 3] é 4, atingido quando
.