Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. *
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma integral imprópria:
. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (se ela tem um valor definido) ou diverge (se ela cresce sem limites). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e convergência de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde o intervalo de integração é infinito, como de 0 até mais infinito nesse caso. Para saber se ela converge ou diverge, a gente precisa analisar o comportamento da função que está sendo integrada, que aqui é
, conforme
vai aumentando para o infinito.
Passo 3
Vamos olhar para os componentes da função
. O termo
é uma função exponencial decrescente, que tende a zero conforme
cresce, desde que
seja positivo. Já o
é uma função que oscila entre -1 e 1 repetidamente, sem se estabilizar em nenhum valor fixo.
Passo 4
Apesar das oscilações do
, o fato de
estar diminuindo para zero pode “controlar” essas oscilações, fazendo com que o produto geral da função tende a zero quando
vai para o infinito. Isso é importante porque sugere que a área sob a curva pode ser finita.
Passo 5
Para confirmar isso, vamos usar o teste de convergência absoluta. Isso significa que a gente verifica se a integral do valor absoluto da função converte, ou seja, se
é finita. Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral mais simples:
. Essa é uma integral conhecida que vale
quando
. Como
é um número finito, isso mostra que a integral original do valor absoluto também é finita.
Passo 7
Como a integral do valor absoluto converge, isso significa que a integral original
também converge por convergência absoluta.
Resposta
A integral
é convergente.