Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. * integral0^+infty e^-x t cos (a t) d t

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral imprópria: integral0^+infty e^-x t cos (a t) d t. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (se ela tem um valor definido) ou diverge (se ela cresce sem limites). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e convergência de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde o intervalo de integração é infinito, como de 0 até mais infinito nesse caso. Para saber se ela converge ou diverge, a gente precisa analisar o comportamento da função que está sendo integrada, que aqui é e^-x t cos(a t), conforme t vai aumentando para o infinito.

Passo 3

Vamos olhar para os componentes da função e^-x t cos(a t). O termo e^-x t é uma função exponencial decrescente, que tende a zero conforme t cresce, desde que x seja positivo. Já o cos(a t) é uma função que oscila entre -1 e 1 repetidamente, sem se estabilizar em nenhum valor fixo.

Passo 4

Apesar das oscilações do cos(a t), o fato de e^-x t estar diminuindo para zero pode “controlar” essas oscilações, fazendo com que o produto geral da função tende a zero quando t vai para o infinito. Isso é importante porque sugere que a área sob a curva pode ser finita.

Passo 5

Para confirmar isso, vamos usar o teste de convergência absoluta. Isso significa que a gente verifica se a integral do valor absoluto da função converte, ou seja, se integral0^+infty |e^-x t cos(a t)| d t é finita. Sabemos que |cos(a t)| <= 1, então:
integral0^+infty |e^-x t cos(a t)| d t <= integral0^+infty e^-x t d t

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral mais simples: integral0^+infty e^-x t d t. Essa é uma integral conhecida que vale 1x quando x > 0. Como 1x é um número finito, isso mostra que a integral original do valor absoluto também é finita.

Passo 7

Como a integral do valor absoluto converge, isso significa que a integral original integral0^+infty e^-x t cos(a t) d t também converge por convergência absoluta.

Resposta

A integral integral0^+infty e^-x t cos(a t) d t é convergente.

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