Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. * integral0^+infty e^-a t sen(a t) d t

Passo 1

Beleza, o exercício quer saber se a integral imprópria converge ou diverge. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais que vão até o infinito, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma integral de 0 até mais infinito é chamada de imprópria porque o limite superior é infinito. Para verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito), vamos calcular o limite da integral quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 3

A integral que temos é . Essa é uma integral que combina uma função exponencial decrescente e uma função seno . Para resolver, podemos usar uma fórmula conhecida para integrais do tipo .

Passo 4

A fórmula que podemos usar é:
integral0^+infty e^-k t sin(m t) , dt = mk^2 + m^2
Aqui, e são constantes positivas. No nosso caso, tanto quanto são iguais a .

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula, temos:
integral0^+infty e^-a t sin(a t) , dt = aa^2 + a^2 = a2 a^2 = 12 a

Passo 6

O resultado é um número finito, o que significa que a integral converge.

Resposta

A integral é convergente.

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