Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. *
Passo 1
Beleza, o exercício quer saber se a integral imprópria
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais que vão até o infinito, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que uma integral de 0 até mais infinito é chamada de imprópria porque o limite superior é infinito. Para verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito), vamos calcular o limite da integral quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 3
A integral que temos é
. Essa é uma integral que combina uma função exponencial decrescente
e uma função seno
. Para resolver, podemos usar uma fórmula conhecida para integrais do tipo
.
Passo 4
A fórmula que podemos usar é:
Aqui,
e
são constantes positivas. No nosso caso, tanto
quanto
são iguais a
.
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula, temos:
Passo 6
O resultado
é um número finito, o que significa que a integral converge.
Resposta
A integral
é convergente.