Encontre o valor médio das funções no intervalo dado. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor médio da função no intervalo de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente relacionado a encontrar a média de uma função em um intervalo. Para resolver isso, vamos precisar utilizar a fórmula do valor médio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor médio de uma função. Imagine que você quer saber o valor “típico” ou “médio” que a função assume no intervalo dado. A fórmula para o valor médio de uma função no intervalo é:
Ou seja, você integra a função no intervalo e divide pelo tamanho desse intervalo.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, a função é , que também pode ser escrita como . O intervalo é de 1 a 8. Então, vamos substituir esses valores na fórmula do valor médio:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de de 1 a 8. Vamos lembrar que a integral de é , desde que .
Aplicando isso:
Agora, avaliamos essa antiderivada de 1 a 8:
Calculando :
Sabemos que , então:
E . Então:

Passo 5

Agora, voltamos à fórmula do valor médio:

Passo 6

Fazendo a divisão:

Resposta

O valor médio da função no intervalo de é aproximadamente 1,6071.

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