Encontre o valor médio das funções no intervalo dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor médio da função
no intervalo de
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente relacionado a encontrar a média de uma função em um intervalo. Para resolver isso, vamos precisar utilizar a fórmula do valor médio de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor médio de uma função. Imagine que você quer saber o valor “típico” ou “médio” que a função assume no intervalo dado. A fórmula para o valor médio
de uma função
no intervalo
é:
Ou seja, você integra a função no intervalo e divide pelo tamanho desse intervalo.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, a função é
, que também pode ser escrita como
. O intervalo é de 1 a 8. Então, vamos substituir esses valores na fórmula do valor médio:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de
de 1 a 8. Vamos lembrar que a integral de
é
, desde que
.
Aplicando isso:
Agora, avaliamos essa antiderivada de 1 a 8:
Calculando
:
Sabemos que
, então:
E
. Então:
Passo 5
Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
Passo 6
Fazendo a divisão:
Resposta
O valor médio da função
no intervalo de
é aproximadamente 1,6071.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
e
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
, em torno do eixo
.
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.