Encontre o valor de no ponto se a equação define como uma função das duas variáveis independentes e e a derivada parcial existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, , no ponto . A equação que relaciona essas variáveis é .
Matéria envolvida: Derivadas parciais e diferenciação implícita.
O que vamos precisar: Saber como aplicar a diferenciação implícita, já que é uma função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que depende de e , então quando derivamos a equação em relação a , temos que considerar como uma função de . Isso significa que, ao derivar termos que envolvem , teremos que aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivando em relação a :
    • Treat as constante.
    • A derivada de é .
  2. Derivando em relação a :
    • Usamos a regra do produto: derivada de vezes mais vezes a derivada de .
    • Derivada de em relação a é .
    • Portanto, a derivada total é .
  3. Derivando em relação a :
    • Tratamos como constante.
    • A derivada de é .
  4. Derivando zero em relação a :
    • A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada da equação completa fica:

Passo 5

Queremos encontrar , então vamos isolar esse termo:

Passo 6

Finalmente, resolvendo para :

Passo 7

Agora, substituímos os valores do ponto :

Resposta

O valor de no ponto é .

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Exercício 2. Calcule as integrais:
(e) ;
Reduza à forma cada uma das expressões .
Exercício 2. Calcule as integrais:
(k) ;
Exercício 5. Encontre a área da região delimitada pelo círculo .