Encontre o valor de partial zpartial x no ponto (1,1,1) se a equação x y+z^3 x-2 y z=0 define z como uma função das duas variáveis independentes x e y e a derivada parcial existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, , no ponto . A equação que relaciona essas variáveis é .
Matéria envolvida: Derivadas parciais e diferenciação implícita.
O que vamos precisar: Saber como aplicar a diferenciação implícita, já que é uma função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que depende de e , então quando derivamos a equação em relação a , temos que considerar como uma função de . Isso significa que, ao derivar termos que envolvem , teremos que aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivando em relação a :
    • Treat as constante.
    • A derivada de é .
  2. Derivando em relação a :
    • Usamos a regra do produto: derivada de vezes mais vezes a derivada de .
    • Derivada de em relação a é .
    • Portanto, a derivada total é .
  3. Derivando em relação a :
    • Tratamos como constante.
    • A derivada de é .
  4. Derivando zero em relação a :
    • A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada da equação completa fica:
y + 3 z^2 x partial zpartial x + z^3 - 2 y partial zpartial x = 0

Passo 5

Queremos encontrar 3 z^2 x partial zpartial x - 2 y partial zpartial x = -y - z^3 , então vamos isolar esse termo:
partial zpartial x (3 z^2 x - 2 y) = -y - z^3

Passo 6

Finalmente, resolvendo para partial zpartial x = -y - z^3 3 z^2 x - 2 y :

Passo 7

Agora, substituímos os valores do ponto partial zpartial x = -1 - (1)^3 3 (1)^2 cdot 1 - 2 cdot 1 = -1 - 1 3 - 2 = -2 1 = -2 :

Resposta

O valor de no ponto é .

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