Encontre o valor de
no ponto
se a equação
define
como uma função das duas variáveis independentes
e
e a derivada parcial existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, no ponto
. A equação que relaciona essas variáveis é
.
Matéria envolvida: Derivadas parciais e diferenciação implícita.
O que vamos precisar: Saber como aplicar a diferenciação implícita, já que
é uma função de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que
depende de
e
, então quando derivamos a equação em relação a
, temos que considerar
como uma função de
. Isso significa que, ao derivar termos que envolvem
, teremos que aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo da equação
em relação a
:
-
Derivando
em relação a : - Treat
as constante. - A derivada de
é .
- Treat
-
Derivando
em relação a : - Usamos a regra do produto: derivada de
vezes mais vezes a derivada de . - Derivada de
em relação a é . - Portanto, a derivada total é
.
- Usamos a regra do produto: derivada de
-
Derivando
em relação a : - Tratamos
como constante. - A derivada de
é .
- Tratamos
-
Derivando zero em relação a
: - A derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Agora, juntando tudo, a derivada da equação completa fica:
Passo 5
Queremos encontrar
, então vamos isolar esse termo:
Passo 6
Finalmente, resolvendo para
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores do ponto
:
Resposta
O valor de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Exercício 2. Calcule as integrais:
(e) ;
(e)
Reduza à forma
cada uma das expressões
.
Exercício 2. Calcule as integrais:
(k) ;
(k)
Exercício 5. Encontre a área da região delimitada pelo círculo
.