Exercício 2. Calcule as integrais:
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição (também conhecida como troca de variável). Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz:
. Essa parte pode ser nossa chave para escolher a substituição. Vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Isso significa derivar
em relação a
:
Então, isolando
:
Temos uma expressão para
, mas também precisamos substituir
na integral.
Passo 4
Observe que na integral original temos
. Vamos multiplicar ambos os lados da expressão de
por
:
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Agora, ajustamos os limites de integração para a variável
:
- Quando
: - Quando
:
Então, a integral fica:
Podemos inverter os limites e trocar o sinal:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Como estamos fazendo uma integral definida, podemos ignorar a constante
e aplicar os limites:
Resposta
O valor da integral
é
.
Exercícios relacionados
Reduza à forma
cada uma das expressões
.
Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Encontre o valor de
no ponto
se a equação
define
como uma função das duas variáveis independentes
e
e a derivada parcial existe.
Exercício 2. Calcule as integrais:
(k) ;
(k)