Exercício 2. Calcule as integrais:
(e) integral0^1 / 2 x raiz1-4 x^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição (também conhecida como troca de variável). Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: u = 1 - 4x^2 . Essa parte pode ser nossa chave para escolher a substituição. Vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = -8x em termos de dx = du-8x . Isso significa derivar em relação a :
Então, isolando :
Temos uma expressão para , mas também precisamos substituir na integral.

Passo 4

Observe que na integral original temos x , dx = du-8 . Vamos multiplicar ambos os lados da expressão de integral x raiz1-4x^2 , dx = integral raizu cdot ( du-8 ) por = -18 integral raizu , du :
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, ajustamos os limites de integração para a variável u = 1 - 4(0)^2 = 1 :
  • Quando u = 1 - 4(12)^2 = 1 - 4 cdot 14 = 1 - 1 = 0 : -18 integral1^0 raizu , du
  • Quando 18 integral0^1 raizu , du :
Então, a integral fica:
Podemos inverter os limites e trocar o sinal:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
18 [ 23 u^3/2 ]0^1
Como estamos fazendo uma integral definida, podemos ignorar a constante = 18 ( 23(1)^3/2 - 23(0)^3/2 ) e aplicar os limites:
= 18 ( 23 - 0 )
= 18 cdot 23
= 112

Resposta

O valor da integral é .

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