Exercício 2. Calcule as integrais:
(e) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição (também conhecida como troca de variável). Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: . Essa parte pode ser nossa chave para escolher a substituição. Vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Isso significa derivar em relação a :
Então, isolando :
Temos uma expressão para , mas também precisamos substituir na integral.

Passo 4

Observe que na integral original temos . Vamos multiplicar ambos os lados da expressão de por :
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, ajustamos os limites de integração para a variável :
  • Quando :
  • Quando :
Então, a integral fica:
Podemos inverter os limites e trocar o sinal:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Como estamos fazendo uma integral definida, podemos ignorar a constante e aplicar os limites:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Reduza à forma cada uma das expressões .
Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Encontre o valor de no ponto se a equação define como uma função das duas variáveis independentes e e a derivada parcial existe.
Exercício 2. Calcule as integrais:
(k) ;