Exercício 2. Calcule as integrais:
(k) integral x^2 raiz3+2 x-x^2 d x;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral:
integral x^2 raiz3 + 2x - x^2 , dx
Conteúdo da matéria: Integração que envolve radicais e polinômios do segundo grau. Vamos precisar usar a técnica de completar o quadrado e substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada completando o quadrado no polinômio 3 + 2x - x^2 = -x^2 + 2x + 3 .
Reescrevendo:
- ( x^2 - 2x ) + 3
Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de x^2 - 2x = ( x - 1 )^2 - 1 :
- ( ( x - 1 )^2 - 1 ) + 3 = -( x - 1 )^2 + 4
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
raiz3 + 2x - x^2 = raiz4 - ( x - 1 )^2
Substituindo de volta:
Portanto:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x - 1 Rightarrow x = u + 1 e dx = du
Substituindo na integral original:
integral x^2 raiz4 - u^2 , du
Agora, expressamos x = u + 1 Rightarrow x^2 = (u + 1)^2 = u^2 + 2u + 1 em termos de integral ( u^2 + 2u + 1 ) raiz4 - u^2 , du :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes para facilitar a resolução:
integral u^2 raiz4 - u^2 , du + 2 integral u raiz4 - u^2 , du + integral raiz4 - u^2 , du
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 5

Primeira Integral:
integral u^2 raiz4 - u^2 , du
Para resolver, usamos a substituição trigonométrica. Seja:
u = 2 sin theta Rightarrow du = 2 cos theta , dtheta
Substituindo na integral:
integral (4 sin^2 theta) raiz4 - 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta = integral 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = 16 integral sin^2 theta cos^2 theta , dtheta
Usando a identidade 16 cdot 14 integral sin^2 2theta , dtheta = 4 integral sin^2 2theta , dtheta :
4 cdot 12 integral (1 - cos 4theta) , dtheta = 2 ( theta - sin 4theta4 ) + C
Aplicando a identidade theta = arcsin( u2 ) :
2 theta - sin 4theta2 + C = 2 arcsin( u2 ) - u raiz4 - u^22 + C
Voltando para 2 integral u raiz4 - u^2 , du :
v = 4 - u^2 Rightarrow dv = -2u , du Rightarrow -12 dv = u , du
Então:
2 cdot ( -12 integral raizv , dv ) = - integral v^1/2 , dv = -23 v^3/2 + C = -23 (4 - u^2)^3/2 + C
Segunda Integral:
integral raiz4 - u^2 , du
Usamos a substituição direta:
u = 2 sin theta Rightarrow du = 2 cos theta , dtheta
A integral fica:
integral 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = 4 integral cos^2 theta , dtheta
Terceira Integral:
4 cdot 12 integral (1 + cos 2theta) , dtheta = 2 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Usamos a substituição trigonométrica novamente:
2 theta + sin 2theta2 + C = 2 arcsin( u2 ) + u raiz4 - u^22 + C
A integral torna-se:
Usando a identidade :
Voltando para :

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais resolvidas:
integral x^2 raiz3 + 2x - x^2 , dx = integral ( u^2 + 2u + 1 ) raiz4 - u^2 , du
Substituindo as soluções obtidas:
= [ 2 arcsin( u2 ) - u raiz4 - u^22 ] + [ -23 (4 - u^2)^3/2 ] + [ 2 arcsin( u2 ) + u raiz4 - u^22 ] + C
Simplificando:
= 4 arcsin( u2 ) - 23 (4 - u^2)^3/2 + C
Substituindo = 4 arcsin( x - 12 ) - 23 (4 - (x - 1)^2)^3/2 + C :

Resposta

A integral calculada é:
integral x^2 raiz3 + 2x - x^2 , dx = 4 arcsin( x - 12 ) - 23 (4 - (x - 1)^2)^3/2 + C
Onde é a constante de integração.

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