Exercício 2. Calcule as integrais:
(k)
;
(k)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral:
Conteúdo da matéria: Integração que envolve radicais e polinômios do segundo grau. Vamos precisar usar a técnica de completar o quadrado e substituição trigonométrica para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada completando o quadrado no polinômio
.
Reescrevendo:
Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Portanto:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Substituindo na integral original:
Agora, expressamos
em termos de
:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos separar a integral em três partes para facilitar a resolução:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 5
Primeira Integral:
Para resolver, usamos a substituição trigonométrica. Seja:
Substituindo na integral:
Usando a identidade
:
Aplicando a identidade
:
Voltando para
:
Então:
Segunda Integral:
Usamos a substituição direta:
A integral fica:
Terceira Integral:
Usamos a substituição trigonométrica novamente:
A integral torna-se:
Usando a identidade
:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, somamos todas as integrais resolvidas:
Substituindo as soluções obtidas:
Simplificando:
Substituindo
:
Resposta
A integral calculada é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre o valor de
no ponto
se a equação
define
como uma função das duas variáveis independentes
e
e a derivada parcial existe.
Exercício 2. Calcule as integrais:
(e) ;
(e)
Exercício 5. Encontre a área da região delimitada pelo círculo
.
Mostre que
, para
, satisfaz a equação do calor (ou equação da difusão térmica)