Exercício 2. Calcule as integrais:
(k) ;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral:
Conteúdo da matéria: Integração que envolve radicais e polinômios do segundo grau. Vamos precisar usar a técnica de completar o quadrado e substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada completando o quadrado no polinômio .
Reescrevendo:
Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Portanto:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Substituindo na integral original:
Agora, expressamos em termos de :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes para facilitar a resolução:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 5

Primeira Integral:
Para resolver, usamos a substituição trigonométrica. Seja:
Substituindo na integral:
Usando a identidade :
Aplicando a identidade :
Voltando para :
Então:
Segunda Integral:
Usamos a substituição direta:
A integral fica:
Terceira Integral:
Usamos a substituição trigonométrica novamente:
A integral torna-se:
Usando a identidade :
Voltando para :

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais resolvidas:
Substituindo as soluções obtidas:
Simplificando:
Substituindo :

Resposta

A integral calculada é:
Onde é a constante de integração.

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