Encontre o valor principal de (1-i)^(4i).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso desafio é encontrar o valor principal de . Para resolver isso, vamos mergulhar um pouco em números complexos e exponenciais. Vamos precisar usar conceitos de logaritmos complexos e a fórmula de Euler para avançar nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo na forma polar. Isso significa que vamos expressar como , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo :

Passo 4

Calculando o argumento :
Como está no quarto quadrante, o ângulo será:
(ou também podemos usar , mas vamos ficar com para simplificar)

Passo 5

Agora, temos:

Passo 6

Vamos elevar à potência :

Passo 7

Aplicando a propriedade das potências :

Passo 8

Calculando cada parte separadamente:
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 9

Agora, juntando as duas partes:

Passo 10

Usando a fórmula de Euler, :

Passo 11

Portanto, o valor principal é:

Resposta

O valor principal de é:

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