Seja x0, x1, x2, ... uma sequência convergente de números reais tal que para todo n
x_{n+1} = x_{n}^2 / 2 + x_{n} - 1 / 2
Seja L o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
(e) Existem dois valores de x_0, digamos a e b, tais que as sequências definidas a partir de x0 = a e x0 = b são não-constantes, o limite da sequência começando em a é -1 , e o limite da sequência começando em b é 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma sequência de números reais que converge para um limite . A sequência é definida pela regra:
Nosso objetivo é descobrir se a afirmação (e) é falsa. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências recursivas, limites de sequências e condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite da sequência. Como a sequência converge, podemos dizer que e tendem para . Então, substituímos e por na equação da sequência:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Subtraímos de ambos os lados:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Isso nos dá:
Então, os possíveis limites da sequência são e .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se tanto quanto são realmente possíveis como limites da sequência, dependendo do valor inicial .
Vamos analisar a estabilidade das soluções fixas e . Para isso, calculamos a derivada da função em relação a :
A estabilidade de um ponto fixo depende do valor absoluto da derivada nesse ponto. Se , o ponto é atraente (estável), e a sequência tende para esse ponto. Se , o ponto é repulsivo (instável).
Vamos calcular e :
Isso significa que é um ponto instável e é um ponto estável.

Passo 5

Dessa forma, se começarmos com um valor inicial próximo de , a sequência vai convergir para . No entanto, como é instável, a sequência não vai tender para a menos que comece exatamente em . Mas a afirmação (e) diz que existem dois valores iniciais e onde, começando de , a sequência tende para , e começando de , tende para .

Passo 6

Como é um ponto estável apenas se começarmos exatamente desse ponto, não há dois valores distintos e que satisfaçam a condição em (e). Portanto, a afirmação (e) é falsa.

Resposta

A afirmação (e) é falsa.

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