Seja
uma sequência convergente de números reais tal que para todo
Seja
o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
(e) Existem dois valores de
, digamos
e
, tais que as sequências definidas a partir de
e
são não-constantes, o limite da sequência começando em
é -1 , e o limite da sequência começando em
é 1 .
(e) Existem dois valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma sequência de números reais que converge para um limite
. A sequência é definida pela regra:
Nosso objetivo é descobrir se a afirmação (e) é falsa. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências recursivas, limites de sequências e condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite
da sequência. Como a sequência converge, podemos dizer que
e
tendem para
. Então, substituímos
e
por
na equação da sequência:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Subtraímos
de ambos os lados:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Isso nos dá:
Então, os possíveis limites da sequência são
e
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se tanto
quanto
são realmente possíveis como limites da sequência, dependendo do valor inicial
.
Vamos analisar a estabilidade das soluções fixas
e
. Para isso, calculamos a derivada da função
em relação a
:
A estabilidade de um ponto fixo depende do valor absoluto da derivada nesse ponto. Se
, o ponto é atraente (estável), e a sequência tende para esse ponto. Se
, o ponto é repulsivo (instável).
Vamos calcular
e
:
Isso significa que
é um ponto instável e
é um ponto estável.
Passo 5
Dessa forma, se começarmos com um valor inicial próximo de
, a sequência vai convergir para
. No entanto, como
é instável, a sequência não vai tender para
a menos que comece exatamente em
. Mas a afirmação (e) diz que existem dois valores iniciais
e
onde, começando de
, a sequência tende para
, e começando de
, tende para
.
Passo 6
Como
é um ponto estável apenas se começarmos exatamente desse ponto, não há dois valores distintos
e
que satisfaçam a condição em (e). Portanto, a afirmação (e) é falsa.
Resposta
A afirmação (e) é falsa.