Encontre o valor principal de:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor principal de
. Aqui, estamos lidando com números complexos e exponenciação de um número complexo por outro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma polar dos números complexos e como realizar operações com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número complexo
na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Vamos calcular o módulo
do número
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Observando o número
, ele está no terceiro quadrante do plano complexo. O ângulo pode ser calculado usando a tangente:
Como está no terceiro quadrante, adicionamos
:
Passo 5
Agora, temos a forma polar do número:
Passo 6
Vamos elevar esse número à potência
. Usamos a fórmula de exponenciação para números complexos:
Onde
e
.
Passo 7
Primeiro, calculamos o logaritmo de
:
Passo 8
Agora, multiplicamos
pelo logaritmo de
:
Lembrando que
:
Passo 9
Agora, aplicamos a exponenciação:
Usando a fórmula de Euler
:
Resposta
Portanto, o valor principal de
é: