Encontre o valor principal de: (-1 - i raiz(3))^(3 pi i);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor principal de . Aqui, estamos lidando com números complexos e exponenciação de um número complexo por outro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma polar dos números complexos e como realizar operações com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Vamos calcular o módulo do número :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . Observando o número , ele está no terceiro quadrante do plano complexo. O ângulo pode ser calculado usando a tangente:
Como está no terceiro quadrante, adicionamos :

Passo 5

Agora, temos a forma polar do número:

Passo 6

Vamos elevar esse número à potência . Usamos a fórmula de exponenciação para números complexos:
Onde e .

Passo 7

Primeiro, calculamos o logaritmo de :

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo logaritmo de :
Lembrando que :

Passo 9

Agora, aplicamos a exponenciação:
Usando a fórmula de Euler :

Resposta

Portanto, o valor principal de é:

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