Seja V = R[t] o espaço vetorial real das funções polinomiais p: R -> R, seja D: V -> V o operador derivação, D(p)(t) = p'(t), e seja T: V -> V o operador definido por T(p)(t) = t * p(t). Considere as seguintes afirmações:
(II) D é injetor

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço de funções polinomiais e dois operadores:
  1. Derivação : Esse operador tira a derivada de um polinômio, ou seja, .
  2. Multiplicação por : Esse operador multiplica o polinômio por , ou seja, .
A questão quer que a gente analise a afirmação (II) é injetor. Para isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser injetor e aplicar isso ao operador derivação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ser injetor. Um operador linear é chamado de injetor se, sempre que , então . Em outras palavras, diferentes entradas resultam em diferentes saídas. Outra maneira de ver isso é que o único polinômio que leva ao zero pelo operador é o polinômio zero.
Matematicamente, isso significa que o núcleo de (todos os polinômios que satisfazem ) contém apenas o polinômio zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao operador derivação . Queremos saber se é injetor. Para isso, vamos investigar o conjunto de polinômios que satisfazem .
A derivada de um polinômio é zero se e somente se é uma constante. Isso ocorre porque a derivada de qualquer constante é zero, e nenhuma outra função polinomial tem derivada zero.
Portanto, o núcleo de consiste de todos os polinômios constantes.

Passo 4

Se o núcleo de contém apenas o polinômio zero, então seria injetor. No entanto, vimos que o núcleo de inclui todos os polinômios constantes, não apenas o zero.
Isso significa que existem muitos polinômios diferentes (as constantes) que são mapeados para zero pelo operador . Logo, não é injetor.

Resposta

A afirmação (II) é injetor é falsa. O operador derivação não é injetor porque seu núcleo inclui todos os polinômios constantes, além do polinômio zero.

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