Seja
o espaço vetorial real das funções polinomiais
, seja
o operador derivação,
, e seja
o operador definido por
. Considere as seguintes afirmações:
(II)
é injetor
(II)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço de funções polinomiais
e dois operadores:
- Derivação
: Esse operador tira a derivada de um polinômio, ou seja, . - Multiplicação por
: Esse operador multiplica o polinômio por , ou seja, .
A questão quer que a gente analise a afirmação (II)
é injetor. Para isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser injetor e aplicar isso ao operador derivação
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ser injetor. Um operador linear
é chamado de injetor se, sempre que
, então
. Em outras palavras, diferentes entradas resultam em diferentes saídas. Outra maneira de ver isso é que o único polinômio que leva ao zero pelo operador
é o polinômio zero.
Matematicamente, isso significa que o núcleo de
(todos os polinômios
que satisfazem
) contém apenas o polinômio zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao operador derivação
. Queremos saber se
é injetor. Para isso, vamos investigar o conjunto de polinômios
que satisfazem
.
A derivada de um polinômio
é zero se e somente se
é uma constante. Isso ocorre porque a derivada de qualquer constante é zero, e nenhuma outra função polinomial tem derivada zero.
Portanto, o núcleo de
consiste de todos os polinômios constantes.
Passo 4
Se o núcleo de
contém apenas o polinômio zero, então
seria injetor. No entanto, vimos que o núcleo de
inclui todos os polinômios constantes, não apenas o zero.
Isso significa que existem muitos polinômios diferentes (as constantes) que são mapeados para zero pelo operador
. Logo,
não é injetor.
Resposta
A afirmação (II)
é injetor é falsa. O operador derivação
não é injetor porque seu núcleo inclui todos os polinômios constantes, além do polinômio zero.