Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de
que faz a equação dada ser exata. Depois disso, precisamos resolver a equação usando esse valor de
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais exatas, que são aquelas onde a equação pode ser escrita como a derivada de uma função igual a zero. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, ajustar
para que isso aconteça. Depois, integramos para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as partes
e
. A equação dada é:
Podemos escrever isso na forma:
Onde:
Passo 3
Para a equação ser exata, ela deve satisfazer a condição de exatidão:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivadas parciais para satisfazer a condição de exatidão:
Simplificando, subtraímos
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Passo 5
Com
, a equação original se torna exata. Agora, vamos resolver a equação diferencial. Sabemos que se a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando os termos:
Simplificando:
Para que isso valha para todos os
e
, os coeficientes devem ser iguais a zero. Então:
Integrando:
Onde
é a constante de integração. Assim, a função
é:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
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Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.
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.
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
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