Encontre o valor de que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de encontrado. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de que faz a equação dada ser exata. Depois disso, precisamos resolver a equação usando esse valor de . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais exatas, que são aquelas onde a equação pode ser escrita como a derivada de uma função igual a zero. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, ajustar para que isso aconteça. Depois, integramos para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as partes e . A equação dada é:
Podemos escrever isso na forma:
Onde:

Passo 3

Para a equação ser exata, ela deve satisfazer a condição de exatidão:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculando :
Agora, calculando :

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas parciais para satisfazer a condição de exatidão:
Simplificando, subtraímos de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):

Passo 5

Com , a equação original se torna exata. Agora, vamos resolver a equação diferencial. Sabemos que se a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando os termos:
Simplificando:
Para que isso valha para todos os e , os coeficientes devem ser iguais a zero. Então:
Integrando:
Onde é a constante de integração. Assim, a função é:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. .
Encontre o valor de que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de encontrado.
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações. .
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. .