Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos precisar usar o método das equações exatas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação fica assim:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Para isso, verificamos se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Com isso, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Passo 6
Agora, substituímos
na função potencial:
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial é:
Exercícios relacionados
Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.
Verifique que toda solução da EDO
satisfaz a equação
, onde
é uma constante positiva. Observando-se que a última equação é a equação de uma elipse no plano
, interprete este exercício geométricamente.
Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.
.
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.