Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. (3 t^2 + 4 t y) + (2 y + 2 t^2) y' = 0, y(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem a equação diferencial com a condição inicial . Vamos precisar usar o método das equações exatas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação fica assim:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Para isso, verificamos se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Com isso, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, substituímos na função potencial:
Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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