Encontre os valores de alpha tal que a matriz
[rrr 1 & -1 & 2 2 & alpha & -1 3 & -2 & 2 ]
seja invertível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 3x3 e precisa descobrir quais valores de alpha fazem com que essa matriz seja invertível. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e ver para quais valores de alpha ele não é zero.

Passo 2

Primeiro, para saber se a matriz é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Então, vamos calcular o determinante da nossa matriz:
det = 1 & -1 & 2 2 & alpha & -1 3 & -2 & 2

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, a gente usa a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
det = 1 cdot alpha & -1 -2 & 2 - (-1) cdot 2 & -1 3 & 2 + 2 cdot 2 & alpha 3 & -2

Passo 4

Agora, vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
alpha & -1 -2 & 2 = alpha cdot 2 - (-1) cdot (-2) = 2alpha - 2
  1. Segundo menor:
2 & -1 3 & 2 = 2 cdot 2 - (-1) cdot 3 = 4 + 3 = 7
  1. Terceiro menor:
2 & alpha 3 & -2 = 2 cdot (-2) - alpha cdot 3 = -4 - 3alpha

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do determinante:
det = 1 cdot (2alpha - 2) - (-1) cdot 7 + 2 cdot (-4 - 3alpha)
Simplificando:
det = 2alpha - 2 + 7 - 8 - 6alpha = (2alpha - 6alpha) + (-2 + 7 - 8) = -4alpha - 3

Passo 6

Agora, para a matriz ser invertível, o determinante tem que ser diferente de zero:
-4alpha - 3 neq 0
Resolvendo para alpha:
-4alpha neq 3 alpha neq -34

Resposta

O valor de alpha deve ser diferente de -dfrac34 para que a matriz seja invertível.

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