Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial . Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar usando substituições. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Podemos isolar :
Passo 3
Agora, vamos fatorar o lado direito para simplificar:
Isso mostra que a equação é separável, ou seja, podemos separar e em lados opostos.
Passo 4
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Isso permite que integremos ambos os lados separadamente.
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo, vamos usar a substituição. Seja , então e . Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo por :
Passo 6
Agora, a equação está separada:
Vamos simplificar o denominador fatorando:
Então:
Passo 7
Para integrar o lado esquerdo, vamos usar frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e , obtemos e .
Então:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por 2 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.
Passo 9
Vamos combinar os logaritmos:
Elevando ambos os lados como potência de u - 2u = Ke^x :
Onde é outra constante arbitrária.
Passo 10
Resolvendo para u - 2 = K e^x u :
u(1 - K e^x) = 2
u = 21 - K e^x
y^1/2 = 21 - K e^x
Lembrando que y = ( 21 - K e^x )^2 = 4(1 - K e^x)^2 :