Resolva d yd x+2 y=y^3 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial . Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar usando substituições. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
dydx + 2y = y^3/2
Podemos isolar dydx = y^3/2 - 2y :

Passo 3

Agora, vamos fatorar o lado direito para simplificar:
dydx = y(y^1/2 - 2)
Isso mostra que a equação é separável, ou seja, podemos separar e em lados opostos.

Passo 4

Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por dyy(y^1/2 - 2) = dx e multiplicando por :
Isso permite que integremos ambos os lados separadamente.

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, vamos usar a substituição. Seja 2u dudx + 2u^2 = u^3 , então 2u dudx = u^3 - 2u^2 e dudx = u^2 - 2u2 . Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo por :

Passo 6

Agora, a equação está separada:
duu^2 - 2u = dx2
Vamos simplificar o denominador fatorando:
u^2 - 2u = u(u - 2)
Então:
duu(u - 2) = dx2

Passo 7

Para integrar o lado esquerdo, vamos usar frações parciais. Queremos encontrar constantes 1u(u - 2) = Au + Bu - 2 e 1 = A(u - 2) + Bu tais que:
integral ( -12u + 12(u - 2) ) du = integral 12 dx
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e , obtemos e .
Então:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
-12 ln|u| + 12 ln|u - 2| = x2 + C
Multiplicando por 2 para simplificar:
-ln|u| + ln|u - 2| = x + C'
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 9

Vamos combinar os logaritmos:
ln|u - 2u| = x + C'
Elevando ambos os lados como potência de u - 2u = Ke^x :
Onde é outra constante arbitrária.

Passo 10

Resolvendo para u - 2 = K e^x u :
u(1 - K e^x) = 2
u = 21 - K e^x
y^1/2 = 21 - K e^x
Lembrando que y = ( 21 - K e^x )^2 = 4(1 - K e^x)^2 :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 4(C e^x - 1)^2
Onde é uma constante arbitrária.

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