Resolva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial . Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar usando substituições. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Podemos isolar :

Passo 3

Agora, vamos fatorar o lado direito para simplificar:
Isso mostra que a equação é separável, ou seja, podemos separar e em lados opostos.

Passo 4

Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Isso permite que integremos ambos os lados separadamente.

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, vamos usar a substituição. Seja , então e . Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo por :

Passo 6

Agora, a equação está separada:
Vamos simplificar o denominador fatorando:
Então:

Passo 7

Para integrar o lado esquerdo, vamos usar frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e , obtemos e .
Então:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Multiplicando por 2 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 9

Vamos combinar os logaritmos:
Elevando ambos os lados como potência de :
Onde é outra constante arbitrária.

Passo 10

Resolvendo para :
Lembrando que :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Seja . Se e . Mostre que e são se, e somente se, existe um escalar tal que .
Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a)
b)
c)
d)
Encontre os valores de tal que a matriz
seja invertível.
Sejam e
um subespaço de . Quais dos vetores e estão em ?