Obtenha equações gerais para os planos descritos abaixo:
a) passa por e e é paralelo ao vetor .
b) passa por e e é paralelo ao segmento , onde e .
c) passa pelos pontos e .
d) passa pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e e que é paralelo ao vetor . Isso envolve geometria espacial e vetores, especificamente o uso de produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os pontos e . Subtraindo as coordenadas de de :

Passo 3

Sabemos que o plano é paralelo ao vetor . Isso significa que está no plano. Agora temos dois vetores no plano: e .

Passo 4

Para encontrar o vetor normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre e :

Passo 5

Agora que temos o vetor normal e um ponto no plano, podemos usar a equação geral do plano:
Simplificando:

Passo 6

Vamos para a parte b)! Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e é paralelo ao segmento , onde e . Novamente, vamos usar vetores e produto vetorial.

Passo 7

Primeiro, encontramos o vetor :
Em seguida, o vetor :

Passo 8

Como o plano é paralelo a , ele está no plano. Então, temos dois vetores no plano: e .

Passo 9

Calculamos o vetor normal como o produto vetorial entre e :

Passo 10

Com o vetor normal e o ponto , a equação do plano é:
Simplificando:

Passo 11

Agora, vamos para a parte c)! Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Como três pontos definem um plano, vamos usar dois vetores no plano e encontrar o vetor normal.

Passo 12

Calculamos os vetores e :

Passo 13

O vetor normal é o produto vetorial entre e :

Passo 14

Com o vetor normal e o ponto , a equação do plano é:
Simplificando:

Passo 15

Finalmente, vamos para a parte d)! Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Novamente, vamos usar dois vetores no plano e encontrar o vetor normal.

Passo 16

Calculamos os vetores e :

Passo 17

O vetor normal é o produto vetorial entre e :
Ops! O vetor normal deu zero, o que significa que os vetores e são colineares, ou seja, os pontos estão alinhados e não definem um plano único.

Resposta

Não é possível determinar um plano único, pois os pontos , e estão alinhados.

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