Obtenha equações gerais para os planos descritos abaixo:
a) passa por e e é paralelo ao vetor .
b) passa por e e é paralelo ao segmento , onde e .
c) passa pelos pontos e .
d) passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e e que é paralelo ao vetor . Isso envolve geometria espacial e vetores, especificamente o uso de produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os pontos e . Subtraindo as coordenadas de de :
Passo 3
Sabemos que o plano é paralelo ao vetor . Isso significa que está no plano. Agora temos dois vetores no plano: e .
Passo 4
Para encontrar o vetor normal n = AB times v = i & j & k 0 & -2 & -1 2 & 1 & 0 = i( (-2)(0) - (-1)(1) ) - j( 0(0) - (-1)(2) ) + k( 0(1) - (-2)(2) ) ao plano, fazemos o produto vetorial entre n = i(0 + 1) - j(0 + 2) + k(0 + 4) = (1, -2, 4) e :
Passo 5
Agora que temos o vetor normal 1(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 0) = 0 e um ponto 1x - 1 - 2y + 2 + 4z = 0 x - 2y + 4z + 1 = 0 no plano, podemos usar a equação geral do plano:
Simplificando:
Passo 6
Vamos para a parte b)! Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e é paralelo ao segmento , onde e . Novamente, vamos usar vetores e produto vetorial.
Passo 7
Primeiro, encontramos o vetor AB = B - A = (0-1, 1-0, -1-1) = (-1, 1, -2) :
CD = D - C = (0-1, 1-2, 0-1) = (-1, -1, -1)
Em seguida, o vetor :
Passo 8
Como o plano é paralelo a , ele está no plano. Então, temos dois vetores no plano: e .
Passo 9
Calculamos o vetor normal n = AB times CD = i & j & k -1 & 1 & -2 -1 & -1 & -1 = i(1(-1) - (-2)(-1)) - j((-1)(-1) - (-2)(-1)) + k((-1)(-1) - 1(-1)) como o produto vetorial entre n = i(-1 - 2) - j(1 - 2) + k(1 - (-1)) = (-3, 1, 2) e :
Passo 10
Com o vetor normal -3(x - 1) + 1(y - 0) + 2(z - 1) = 0 e o ponto -3x + 3 + y + 2z - 2 = 0 -3x + y + 2z +1 = 0 , a equação do plano é:
Simplificando:
Passo 11
Agora, vamos para a parte c)! Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Como três pontos definem um plano, vamos usar dois vetores no plano e encontrar o vetor normal.
Passo 12
Calculamos os vetores AB = (2-1, 1-0, -1-1) = (1,1,-2) AC = (1-1, -1-0, 0-1) = (0,-1,-1) e :
Passo 13
O vetor normal n = AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -2 0 & -1 & -1 = i(1(-1) - (-2)(-1)) - j(1(-1) - (-2)(0)) + k(1(-1) - 1(0)) é o produto vetorial entre n = i(-1 -2) - j(-1 -0) + k(-1 -0) = (-3,1,-1) e :
Passo 14
Com o vetor normal -3(x - 1) + 1(y - 0) -1(z -1) = 0 e o ponto -3x +3 + y - z +1 = 0 -3x + y - z +4 = 0 , a equação do plano é:
Simplificando:
Passo 15
Finalmente, vamos para a parte d)! Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Novamente, vamos usar dois vetores no plano e encontrar o vetor normal.
Passo 16
Calculamos os vetores AB = (-1-1, 1-0, 3-2) = (-2,1,1) AC = (3-1, -1-0, 1-2) = (2,-1,-1) e :
Passo 17
O vetor normal n = AB times AC = i & j & k -2 & 1 & 1 2 & -1 & -1 = i(1(-1) -1(-1)) - j(-2(-1) -1(2)) + k(-2(-1) -1(2)) é o produto vetorial entre n = i(-1 +1) - j(2 -2) + k(2 -2) = (0,0,0) e :
Ops! O vetor normal deu zero, o que significa que os vetores e são colineares, ou seja, os pontos estão alinhados e não definem um plano único.
Resposta
Não é possível determinar um plano único, pois os pontos , e estão alinhados.