Sejam V=R^4 e
W=(x, y, z, t) in V: x+2 y-2 z=0 e t=0
um subespaço de V. Quais dos vetores u=(-2,4,3,0), v=(6,2,4,1) e w= (-2,1,0,0) estão em W ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial W = (x, y, z, t) in V mid x + 2y - 2z = 0 e t = 0 e um subespaço definido por duas equações:
O objetivo é verificar quais dos vetores , e pertencem a . Para isso, precisamos usar o conceito de subespaço e verificar se os vetores satisfazem as equações que definem .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o vetor x + 2y - 2z = 0 e t = 0 . Precisamos checar se ele satisfaz as duas condições de -2 + 2(4) - 2(3) = -2 + 8 - 6 = 0 :
t = 0
Substituindo os valores de :
Ambas as condições são satisfeitas, então pertence a .

Passo 3

Agora, vamos verificar o vetor 6 + 2(2) - 2(4) = 6 + 4 - 8 = 2 neq 0 . Vamos substituir na primeira equação:
Além disso, . Como não satisfaz as duas condições, não pertence a .

Passo 4

Por fim, vamos verificar o vetor -2 + 2(1) - 2(0) = -2 + 2 - 0 = 0 . Substituindo na primeira equação:
E . Ambas as condições são satisfeitas, então pertence a .

Resposta

Os vetores e estão em .

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