Seja a função definida por
éãé
Em quais pontos é contínua?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: temos uma função definida por
éãé
O objetivo é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções reais e analisar o comportamento da função nos números inteiros e não inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Em termos matemáticos:
Isso significa que não há “saltos” ou “quebras” no gráfico da função no ponto .

Passo 3

Vamos analisar a função nos pontos inteiros e não inteiros separadamente.
  1. Pontos Inteiros ( inteiro):
    • Quando é um número inteiro, .
    • Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de um número inteiro é igual a 1.
  2. Pontos Não Inteiros ( não inteiro):
    • Quando não é inteiro, .
    • Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de um número não inteiro é igual a 0.

Passo 4

Vamos examinar os limites:
  1. Para inteiro:
    • Ao nos aproximarmos de , de ambos os lados, os valores de que não são inteiros terão .
    • Portanto, o limite de quando se aproxima de é 0.
    • Mas, , então .
    • Isso indica que não é contínua nos pontos inteiros.
  2. Para não inteiro:
    • Ao nos aproximarmos de , os valores de que são inteiros estarão “longe” de , então para valores próximos a , .
    • Assim, .
    • E , então .
    • Isso indica que é contínua nos pontos não inteiros.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos que não são números inteiros.

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Discuta a continuidade das funções abaixo:
;
Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :
Calcule o limite usando as propriedades adequadas de limites.
Calcule o limite usando as propriedades adequadas de limites.