Seja
a função definida por
Em quais pontos
é contínua?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: temos uma função
definida por
O objetivo é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções reais e analisar o comportamento da função
nos números inteiros e não inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Em termos matemáticos:
Isso significa que não há “saltos” ou “quebras” no gráfico da função no ponto
.
Passo 3
Vamos analisar a função
nos pontos inteiros e não inteiros separadamente.
-
Pontos Inteiros (
inteiro): - Quando
é um número inteiro, . - Precisamos verificar se o limite de
quando se aproxima de um número inteiro é igual a 1.
- Quando
-
Pontos Não Inteiros (
não inteiro): - Quando
não é inteiro, . - Precisamos verificar se o limite de
quando se aproxima de um número não inteiro é igual a 0.
- Quando
Passo 4
Vamos examinar os limites:
-
Para
inteiro: - Ao nos aproximarmos de
, de ambos os lados, os valores de que não são inteiros terão . - Portanto, o limite de
quando se aproxima de é 0. - Mas,
, então . - Isso indica que
não é contínua nos pontos inteiros.
- Ao nos aproximarmos de
-
Para
não inteiro: - Ao nos aproximarmos de
, os valores de que são inteiros estarão “longe” de , então para valores próximos a , . - Assim,
. - E
, então . - Isso indica que
é contínua nos pontos não inteiros.
- Ao nos aproximarmos de
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos que não são números inteiros.