Vamos dar uma olhada no exercício: temos uma função definida por
O objetivo é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções reais e analisar o comportamento da função nos números inteiros e não inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Em termos matemáticos:
Isso significa que não há “saltos” ou “quebras” no gráfico da função no ponto .
Passo 3
Vamos analisar a função nos pontos inteiros e não inteiros separadamente.
Pontos Inteiros ( inteiro):
Quando é um número inteiro, .
Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de um número inteiro é igual a 1.
Pontos Não Inteiros ( não inteiro):
Quando não é inteiro, .
Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de um número não inteiro é igual a 0.
Passo 4
Vamos examinar os limites:
Para inteiro:
Ao nos aproximarmos de , de ambos os lados, os valores de que não são inteiros terão .
Portanto, o limite de quando se aproxima de é 0.
Mas, , então .
Isso indica que não é contínua nos pontos inteiros.
Para não inteiro:
Ao nos aproximarmos de , os valores de que são inteiros estarão “longe” de , então para valores próximos a , .
Assim, .
E , então .
Isso indica que é contínua nos pontos não inteiros.
Resposta
A função é contínua em todos os pontos que não são números inteiros.