Seja , o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 .
b) Escreva as coordenadas de em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do polinômio em relação a uma base de , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são os vetores que compõem a base e entender como expressar como uma combinação linear desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem representar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares deles. No caso de , uma base comum é a base padrão .
Passo 3
Assumindo que a base seja essa base padrão, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base. Isso significa que vamos encontrar coeficientes tais que:
Passo 4
Agora, vamos comparar os coeficientes de com os coeficientes da combinação linear. No nosso caso:
Isso nos dá as seguintes igualdades:
Passo 5
Portanto, os coeficientes são todos iguais a 1. Isso significa que as coordenadas de em relação à base são: