Seja V=P3(R), o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 .
b) Escreva as coordenadas de p(x)=1+x+x^2+x^3 em relação à base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do polinômio em relação a uma base de , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são os vetores que compõem a base e entender como expressar como uma combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem representar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares deles. No caso de , uma base comum é a base padrão .

Passo 3

Assumindo que a base p(x) = a0 cdot 1 + a1 cdot x + a2 cdot x^2 + a3 cdot x^3 seja essa base padrão, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base. Isso significa que vamos encontrar coeficientes tais que:

Passo 4

Agora, vamos comparar os coeficientes de 1 + x + x^2 + x^3 = a0 cdot 1 + a1 cdot x + a2 cdot x^2 + a3 cdot x^3 com os coeficientes da combinação linear. No nosso caso:
a0 = 1
Isso nos dá as seguintes igualdades:
a1 = 1
a2 = 1
a3 = 1

Passo 5

Portanto, os coeficientes (a0, a1, a2, a3) = (1, 1, 1, 1) são todos iguais a 1. Isso significa que as coordenadas de em relação à base são:

Resposta

As coordenadas de em relação à base são .

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