Encontre os valores de k, para que a matriz A=(ccc1 & 0 & -1 k & 1 & 3 1 & k & 3) não seja inversível. R.: k=1 e k=-4

Passo 1

Beleza, a gente tem uma matriz A e queremos descobrir para quais valores de k essa matriz não tem inversa. Isso tá ligado ao conteúdo de matrizes e determinantes. Pra resolver, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz A e ver para quais valores de k ele é igual a zero, porque uma matriz sem inversa é justamente quando o determinante é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A:
A = 1 & 0 & -1 k & 1 & 3 1 & k & 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3 times 3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = 1 cdot 1 cdot 3 + 0 cdot 3 cdot 1 + (-1) cdot k cdot 1 - (-1) cdot 1 cdot 1 - 0 cdot k cdot 3 - 1 cdot 3 cdot 1

Passo 5

Vamos simplificar os cálculos passo a passo:
  1. 1 cdot 1 cdot 3 = 3
  2. 0 cdot 3 cdot 1 = 0
  3. (-1) cdot k cdot 1 = -k
  4. - [ (-1) cdot 1 cdot 1 ] = 1
  5. - [0 cdot k cdot 3] = 0
  6. - [1 cdot 3 cdot 1] = -3

Passo 6

Somando tudo:
det(A) = 3 + 0 - k + 1 + 0 - 3 = 1 - k

Passo 7

Para a matriz não ser inversível, o determinante deve ser igual a zero:
1 - k = 0 Rightarrow k = 1

Passo 8

No entanto, parece que a solução também inclui k = -4. Isso indica que pode ter havido um erro na regra de Sarrus. Vamos recalcular o determinante usando a regra de Laplace para confirmar.

Passo 9

Usando a regra de Laplace, expandindo pela primeira linha:
det(A) = 1 cdot 1 & 3 k & 3 - 0 cdot k & 3 1 & 3 + (-1) cdot k & 1 1 & k

Passo 10

Calculando os menores:
  1. 1 & 3 k & 3 = 1 cdot 3 - 3 cdot k = 3 - 3k
  2. k & 1 1 & k = k cdot k - 1 cdot 1 = k^2 - 1

Passo 11

Substituindo de volta:
det(A) = 1 cdot (3 - 3k) - 0 + (-1) cdot (k^2 - 1) = 3 - 3k - k^2 + 1 = -k^2 -3k +4

Passo 12

Agora, igualamos a zero para encontrar os valores de k:
-k^2 -3k +4 = 0 Rightarrow k^2 +3k -4 = 0

Passo 13

Resolvendo a equação quadrática:
k = -3 pm raiz9 +162 = -3 pm raiz252 = -3 pm 52

Passo 14

Então, temos duas soluções:
  1. k = -3 +52 = 1
  2. k = -3 -52 = -4

Resposta

Os valores de k que fazem a matriz A não ser inversível são k = 1 e k = -4.

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