Verificar se os seguintes pontos de R^4 determinam um hiperplano:
P1=(1,0,0,2), P2=(1,3,4,5), P3=(0,2,0,5) e P4=(2,1,0,3).
Relembrando que um hiperplano em R^4 é o conjunto de pontos (z, y, z, w) in R^4 que satisfazem uma equação do tipo
a x+b y+c z+d w=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se quatro pontos em R^4 estão todos em um mesmo hiperplano. Um hiperplano em R^4 é como uma “super superfície” que pode ser descrita por uma equação do tipo:
a x + b y + c z + d w = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra linear, principalmente sobre sistemas de equações e como verificar se existe uma solução que faça todos os pontos satisfazerem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do hiperplano para cada um dos pontos dados. Temos os pontos:
  • P1 = (1, 0, 0, 2)
  • P2 = (1, 3, 4, 5)
  • P3 = (0, 2, 0, 5)
  • P4 = (2, 1, 0, 3)
Substituindo cada ponto na equação do hiperplano, teremos um sistema de quatro equações:
  1. Para P1:
a(1) + b(0) + c(0) + d(2) = 0 Rightarrow a + 2d = 0
  1. Para P2:
a(1) + b(3) + c(4) + d(5) = 0 Rightarrow a + 3b + 4c + 5d = 0
  1. Para P3:
a(0) + b(2) + c(0) + d(5) = 0 Rightarrow 2b + 5d = 0
  1. Para P4:
a(2) + b(1) + c(0) + d(3) = 0 Rightarrow 2a + b + 3d = 0

Passo 3

Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para ver se existe uma solução para a, b, c, e d que satisfaça todas elas simultaneamente. Se conseguirmos encontrar tais valores (não todos zero), significa que os pontos estão no mesmo hiperplano.
Vamos organizar o sistema:
a + 0b + 0c + 2d = 0 a + 3b + 4c + 5d = 0 0a + 2b + 0c + 5d = 0 2a + b + 0c + 3d = 0

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação:
a + 2d = 0 Rightarrow a = -2d
  1. Da terceira equação:
2b + 5d = 0 Rightarrow b = -52d
  1. Da quarta equação:
    Substituindo a = -2d e b = -52d:
2(-2d) + (-52d) + 3d = 0 -4d - 52d + 3d = 0 (-4 - 52 + 3)d = 0 (-4 - 2.5 + 3)d = 0 (-3.5)d = 0 Rightarrow d = 0
  1. Se d = 0, então de a = -2d temos a = 0 e de b = -52d temos b = 0.
  2. Agora, voltando para a segunda equação:
a + 3b + 4c + 5d = 0 0 + 0 + 4c + 0 = 0 Rightarrow 4c = 0 Rightarrow c = 0

Passo 5

Chegamos a a = 0, b = 0, c = 0, e d = 0. Isso significa que a única solução do sistema é a trivial, onde todos os coeficientes são zero. Porém, para que exista um hiperplano, precisamos de uma solução não trivial (pelo menos um coeficiente diferente de zero).

Resposta

Como a única solução é trivial ( a = b = c = d = 0), os pontos P1, P2, P3 e P4 não determinam um hiperplano em R^4.

Exercícios relacionados