Verificar se os seguintes pontos de determinam um hiperplano: e .
Relembrando que um hiperplano em é o conjunto de pontos que satisfazem uma equação do tipo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se quatro pontos em estão todos em um mesmo hiperplano. Um hiperplano em é como uma “super superfície” que pode ser descrita por uma equação do tipo:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra linear, principalmente sobre sistemas de equações e como verificar se existe uma solução que faça todos os pontos satisfazerem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do hiperplano para cada um dos pontos dados. Temos os pontos:
Substituindo cada ponto na equação do hiperplano, teremos um sistema de quatro equações:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 3
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para ver se existe uma solução para , , , e que satisfaça todas elas simultaneamente. Se conseguirmos encontrar tais valores (não todos zero), significa que os pontos estão no mesmo hiperplano.
Vamos organizar o sistema:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da primeira equação:
a + 2d = 0 Rightarrow a = -2d
Da terceira equação:
2b + 5d = 0 Rightarrow b = -52d
Da quarta equação:
Substituindo a = -2d e b = -52d:
Chegamos a a = 0, b = 0, c = 0, e d = 0. Isso significa que a única solução do sistema é a trivial, onde todos os coeficientes são zero. Porém, para que exista um hiperplano, precisamos de uma solução não trivial (pelo menos um coeficiente diferente de zero).
Resposta
Como a única solução é trivial (a = b = c = d = 0), os pontos P1, P2, P3 e P4não determinam um hiperplano em R^4.