Encontre os valores máximo e mínimo absoluto def fu valo dado. ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores máximo e mínimo absoluto da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, especificamente no estudo de máximos e mínimos de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar seus pontos críticos e analisar esses pontos para determinar quais são os valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde ela pode ter pontos de máximo ou mínimo.
A função dada é:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero e resolver para :
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos utilizar o teste da segunda derivada.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de :
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.

Passo 5

Agora que identificamos os pontos de máximo e mínimo local, vamos encontrar os valores correspondentes da função nesses pontos.
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Por último, para determinar os valores máximo e mínimo absoluto, precisamos considerar o comportamento da função em todo o seu domínio. A função é um polinômio de grau 3, que tende a quando e a quando . Isso significa que não há limites superiores ou inferiores absolutos para a função. Portanto, os valores máximo e mínimo que encontramos são apenas máximos e mínimos locais.

Resposta

A função possui um mínimo local em com o valor e um máximo local em com o valor .

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