Encontre os valores máximo e mínimo absoluto def fu valo dado.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores máximo e mínimo absoluto da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, especificamente no estudo de máximos e mínimos de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar seus pontos críticos e analisar esses pontos para determinar quais são os valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde ela pode ter pontos de máximo ou mínimo.
A função dada é:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada
sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero e resolver para
:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos utilizar o teste da segunda derivada.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
:
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Agora que identificamos os pontos de máximo e mínimo local, vamos encontrar os valores correspondentes da função nesses pontos.
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Por último, para determinar os valores máximo e mínimo absoluto, precisamos considerar o comportamento da função em todo o seu domínio. A função
é um polinômio de grau 3, que tende a
quando
e a
quando
. Isso significa que não há limites superiores ou inferiores absolutos para a função. Portanto, os valores máximo e mínimo que encontramos são apenas máximos e mínimos locais.
Resposta
A função
possui um mínimo local em
com o valor
e um máximo local em
com o valor
.
Exercícios relacionados
Encontre os números críticos da função.
- arsen:
Esboce o gráfico de
à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de
. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)
Esboce o gráfico de
à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de
. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)
Esboce o gráfico de
à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de
. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)