Seja a região limitada pelas curvas e . Escreva uma integral que representa a integral após aplicar a mudança para coordenadas polares. Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre a região limitada pelas curvas , , e . A matéria envolvida aqui são as coordenadas polares e integração dupla. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e calcular o determinante jacobiano dessa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares . Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, a expressão simplifica para , e o elemento de área vira por causa do jacobiano da transformação.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . As linhas e correspondem a ângulos e respectivamente. Já as linhas e em coordenadas polares são e .
Então, os limites ficam:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original e aplicando a mudança para coordenadas polares, temos:
Simplificando, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em :
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral de é conhecida:
Aplicando os limites de a :
Calculando nos limites:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral vale:

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Seja o sólido interior à esfera acima do plano considere a integral . Forneça uma expressão para em coordenadas esféricas.