Seja R a região limitada pelas curvas y=raiz3 x, y=x, x=1 e x=2. Escreva uma integral que representa a integral I=integral duplaR 1raizx^2+y^2 d x d y após aplicar a mudança para coordenadas polares. Calcule I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre a região limitada pelas curvas , , e . A matéria envolvida aqui são as coordenadas polares e integração dupla. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e calcular o determinante jacobiano dessa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para coordenadas polares . Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, a expressão simplifica para , e o elemento de área vira por causa do jacobiano da transformação.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para pi4 <= theta <= pi3 e 1cos theta <= r <= 2cos theta . As linhas e correspondem a ângulos e respectivamente. Já as linhas e em coordenadas polares são e .
Então, os limites ficam:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original e aplicando a mudança para coordenadas polares, temos:
I = integral duplaR 1raizx^2+y^2 , dx , dy = integralpi4^pi3 integral1cos theta^2cos theta 1r cdot r , dr , dtheta
Simplificando, a integral fica:
I = integralpi4^pi3 integral1cos theta^2cos theta 1 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em integral1cos theta^2cos theta 1 , dr = [ r ]1cos theta^2cos theta = 2cos theta - 1cos theta = 1cos theta :
I = integralpi4^pi3 1cos theta , dtheta = integralpi4^pi3 sec theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral de integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C é conhecida:
I = [ ln ( sec theta + tan theta ) ]pi4^pi3
Aplicando os limites de I = ln ( 2 + raiz3 ) - ln ( raiz2 + 1 ) a I = ln ( 2 + raiz3raiz2 + 1 ) :
Calculando nos limites:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral I = ln ( 2 + raiz3raiz2 + 1 ) vale:

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