Seja
a região limitada pelas curvas
e
. Escreva uma integral que representa a integral
após aplicar a mudança para coordenadas polares. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre a região
limitada pelas curvas
,
,
e
. A matéria envolvida aqui são as coordenadas polares e integração dupla. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e calcular o determinante jacobiano dessa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, a expressão
simplifica para
, e o elemento de área
vira
por causa do jacobiano da transformação.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. As linhas
e
correspondem a ângulos
e
respectivamente. Já as linhas
e
em coordenadas polares são
e
.
Então, os limites ficam:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original e aplicando a mudança para coordenadas polares, temos:
Simplificando, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 6
A integral de
é conhecida:
Aplicando os limites de
a
:
Calculando nos limites:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A integral
vale:
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Escreva a integral que nos dá a inversão da ordem de integração de
. Faça um esboço da região de integração.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Seja
o sólido interior à esfera
acima do plano
considere a integral
. Calcule
usando em coordenadas cilíndricas.
Seja
o sólido interior à esfera
acima do plano
considere a integral
. Forneça uma expressão para
em coordenadas esféricas.