Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x-ln x, [12, 2]

Passo 1

Olha só, a gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Isso vai envolver o estudo da derivada da função para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f'(x) = ddx(x) - ddx(ln x) . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está aumentando ou diminuindo.
f'(x) = 1 - 1x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de f'(x) = 0 onde a derivada é igual a zero, pois esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser candidatos a máximos ou mínimos.
1 - 1x = 0
1 = 1x
x = 1
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Além do ponto crítico, precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo para garantir que não estamos perdendo nenhum valor máximo ou mínimo.
Vamos calcular f(12) = 12 - ln(12) nos pontos f(12) = 12 + ln 2 , f(12) approx 0,5 + 0,693 e f(12) approx 1,193 :
Para f(1) = 1 - ln(1) :
f(1) = 1 - 0
f(1) = 1
f(2) = 2 - ln(2)
f(2) approx 2 - 0,693
Para f(2) approx 1,307 :
Para :

Resposta

No intervalo , a função atinge:
  • Mínimo absoluto em com valor .
  • Máximo absoluto em com valor aproximado .

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