Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um aumento na pressão dos pulmões. Isso é acompanhado por uma contração da traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde passa o ar expelido. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho.
uso de raios
mostra que o raio do tubo circular da traqueia se contrai para cerca de
de seu raio normal durante a tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade
está relacionada ao raio
da traqueia pela equação
em que
é uma constante e
, o raio normal da traqueia. A restrição sobre
deve-se ao fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que
(de outra forma, a pessoa ficaria sufocada).
(a) Determine o valor de
no intervalo
no qual
tenha um máximo absoluto. Como isso se compara com a evidência experimental?
(b) Qual é o valor máximo absoluto de
no intervalo?
(a) Determine o valor de
(b) Qual é o valor máximo absoluto de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! O exercício fala sobre como a tosse funciona quando tem um objeto preso na traqueia. A gente precisa usar um modelo matemático que relaciona a velocidade do ar que sai da traqueia com o raio desse tubo. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especialmente o estudo de funções e otimização. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas para encontrar o ponto onde a velocidade
é máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a função que descreve a velocidade do ar:
Aqui,
é uma constante,
é o raio normal da traqueia e
é o raio após a contração. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que torna
o maior possível no intervalo
.
Passo 3
Para encontrar o máximo da função, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada nos diz onde a função tem pontos de máximo ou mínimo.
Calculando a derivada de
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções:
-
(mas isso está fora do nosso intervalo de interesse) -
→
Passo 5
Vamos verificar se
está dentro do nosso intervalo
:
Como
e
, sim,
está dentro do intervalo.
Passo 6
Agora, precisamos confirmar que esse ponto realmente corresponde a um máximo. Vamos verificar o sinal da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Mas, para simplificar, sabemos que no nosso intervalo a velocidade inicialmente aumenta até
e depois diminui, então
é o ponto onde a velocidade é máxima.
Passo 7
Comparando com a evidência experimental que diz que o raio contrai para cerca de
do seu valor normal durante a tosse, vemos que nosso resultado bate certinho com o que foi observado na prática!
Resposta
O valor de
no intervalo
onde a velocidade
é máxima é
, o que concorda com a evidência experimental.
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no intervalo dado.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
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