Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um aumento na pressão dos pulmões. Isso é acompanhado por uma contração da traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde passa o ar expelido. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho. O uso de raios X mostra que o raio do tubo circular da traqueia se contrai para cerca de 2 / 3 de seu raio normal durante a tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade v está relacionada ao raio r da traqueia pela equação
v(r)=k(r0-r) r^2 12 r0 <= r <= r0
em que k é uma constante e r0, o raio normal da traqueia. A restrição sobre r deve-se ao fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que 12 r0 (de outra forma, a pessoa ficaria sufocada).
(a) Determine o valor de r no intervalo [12 r0, r0] no qual v tenha um máximo absoluto. Como isso se compara com a evidência experimental?
(b) Qual é o valor máximo absoluto de v no intervalo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! O exercício fala sobre como a tosse funciona quando tem um objeto preso na traqueia. A gente precisa usar um modelo matemático que relaciona a velocidade do ar que sai da traqueia com o raio desse tubo. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especialmente o estudo de funções e otimização. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas para encontrar o ponto onde a velocidade é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a função que descreve a velocidade do ar:
v(r) = k(r0 - r) r^2
Aqui, é uma constante, é o raio normal da traqueia e é o raio após a contração. Nosso objetivo é encontrar o valor de que torna o maior possível no intervalo .

Passo 3

Para encontrar o máximo da função, vamos derivar v'(r) = ddr [ k(r0 - r) r^2 ] em relação a v'(r) = k [ ddr(r0 - r) cdot r^2 + (r0 - r) cdot ddr(r^2) ] e igualar a derivada a zero. A derivada nos diz onde a função tem pontos de máximo ou mínimo.
Calculando a derivada de v'(r) = k [ (-1) cdot r^2 + (r0 - r) cdot 2r ] :
v'(r) = k [ -r^2 + 2r(r0 - r) ]
Aplicando a regra do produto:
v'(r) = k [ -r^2 + 2r r0 - 2r^2 ]
v'(r) = k [ 2r r0 - 3r^2 ]

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
2r r0 - 3r^2 = 0
Fatorando r(2r0 - 3r) = 0 :
Isso nos dá duas soluções:
  1. (mas isso está fora do nosso intervalo de interesse)

Passo 5

Vamos verificar se 12 r0 <= 23 r0 <= r0 está dentro do nosso intervalo :
Como e , sim, está dentro do intervalo.

Passo 6

Agora, precisamos confirmar que esse ponto realmente corresponde a um máximo. Vamos verificar o sinal da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Mas, para simplificar, sabemos que no nosso intervalo a velocidade inicialmente aumenta até e depois diminui, então é o ponto onde a velocidade é máxima.

Passo 7

Comparando com a evidência experimental que diz que o raio contrai para cerca de do seu valor normal durante a tosse, vemos que nosso resultado bate certinho com o que foi observado na prática!

Resposta

O valor de no intervalo onde a velocidade é máxima é , o que concorda com a evidência experimental.

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