Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo de
que vai de 0 até 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função atinge esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos absolutos de uma função em um intervalo fechado, a gente precisa verificar os valores da função nos pontos críticos dentro do intervalo e também nas extremidades do intervalo.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos locais.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
ou onde a derivada não existe. No nosso caso, a derivada existe para todos os
, então vamos resolver:
Como estamos olhando para o intervalo
, apenas
está dentro desse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos.
Os pontos que vamos avaliar são:
-
(extremidade inferior) -
(ponto crítico) -
(extremidade superior)
Vamos calcular
para cada um desses pontos.
Passo 6
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Passo 7
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é 113 e o menor valor é 5.
Resposta
No intervalo
, a função
atinge o valor máximo absoluto de 113 em
e o valor mínimo absoluto de 5 em
.
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para a qual
,
, e
.