Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo de que vai de 0 até 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função atinge esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos absolutos de uma função em um intervalo fechado, a gente precisa verificar os valores da função nos pontos críticos dentro do intervalo e também nas extremidades do intervalo.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos locais.
A função é:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde ou onde a derivada não existe. No nosso caso, a derivada existe para todos os , então vamos resolver:
Como estamos olhando para o intervalo , apenas está dentro desse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos.
Os pontos que vamos avaliar são:
  • (extremidade inferior)
  • (ponto crítico)
  • (extremidade superior)
Vamos calcular para cada um desses pontos.

Passo 6

Calculando em :
Calculando em :
Calculando em :

Passo 7

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é 113 e o menor valor é 5.

Resposta

No intervalo , a função atinge o valor máximo absoluto de 113 em e o valor mínimo absoluto de 5 em .

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