Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os extremos da função, precisamos descobrir onde a derivada da função é igual a zero ou onde ela não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são candidatos a valores máximos ou mínimos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A função é uma fração, então vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos
, então a derivada
é:
Aplicando isso à nossa função:
Calculamos as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde
ou onde a derivada não existe. Como o denominador
nunca é zero, só precisamos resolver:
Como
nunca é zero, temos que:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática:
Essa equação pode ser fatorada como:
Então, temos:
Esse é o nosso ponto crítico dentro do intervalo
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximo e mínimo.
Calculando
em:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Comparando os valores:
Vemos que o maior valor é aproximadamente
em
e o menor valor é
em
.
Resposta
O valor máximo absoluto de
no intervalo
é aproximadamente
em
e o valor mínimo absoluto é
em
.
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