Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os extremos da função, precisamos descobrir onde a derivada da função é igual a zero ou onde ela não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são candidatos a valores máximos ou mínimos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A função é uma fração, então vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos , então a derivada é:
Aplicando isso à nossa função:
Calculamos as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ou onde a derivada não existe. Como o denominador nunca é zero, só precisamos resolver:
Como nunca é zero, temos que:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática:
Essa equação pode ser fatorada como:
Então, temos:
Esse é o nosso ponto crítico dentro do intervalo .

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximo e mínimo.
Calculando em:
  • :
  • :
  • :

Passo 7

Comparando os valores:
Vemos que o maior valor é aproximadamente em e o menor valor é em .

Resposta

O valor máximo absoluto de no intervalo é aproximadamente em e o valor mínimo absoluto é em .

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Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
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