Esboce o gráfico de uma função f para a qual f(0) = 0, f'(0)=3, f'(1)=0, e f'(2) = -1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função com algumas condições específicas: , , e . Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a entender o comportamento do gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, sabemos que , o que significa que o ponto de coordenadas (0, 0) está no gráfico da função. Isso nos dá um ponto de partida.

Passo 3

A derivada nos indica a inclinação da reta tangente ao gráfico em . Uma derivada de 3 significa que, naquele ponto, o gráfico está subindo com uma inclinação de 3. Então, imaginamos uma reta que passa pelo ponto (0, 0) com inclinação 3.

Passo 4

Em , a derivada informa que a reta tangente é horizontal nesse ponto. Isso geralmente significa que há um ponto de máximo ou mínimo local ali, ou até um ponto de inflexão. Vamos anotar que em a inclinação é zero.

Passo 5

Para , temos . Isso indica que a inclinação da reta tangente é negativa, ou seja, o gráfico está descendo nesse ponto com inclinação -1.

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Começamos no ponto (0, 0) com uma inclinação positiva de 3.
  2. À medida que nos movemos para a direita até , a inclinação diminui até chegar a zero.
  3. Após , a inclinação se torna negativa, descendo até com inclinação -1.

Resposta

O esboço do gráfico de passa pelo ponto (0, 0), começa subindo com inclinação 3, atinge uma horizontalização (inclinação 0) em , e depois desce com inclinação -1 em .

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