Encontre os valores máximo e mínimo globais de
no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo globais da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente otimização de funções em intervalos fechados. Precisaremos calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos e, em seguida, avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem inclinações horizontais, ou seja, onde a taxa de variação é zero, indicando possíveis máximos ou mínimos locais.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos dentro do intervalo
, precisamos avaliar a função
nesses pontos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos globais.
Vamos calcular
para:
Passo 5
Vamos aos cálculos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Após calcular, os valores máximos e mínimos globais da função
no intervalo
são:
- Máximo global:
- Mínimo global:
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Justifique com um exemplo o motivo pelo qual nas hipóteses do Teorema do valor Extremo, o intervalo
é fechado.
Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(a)
(a)