Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo . Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente otimização de funções em intervalos fechados. Precisaremos calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos e, em seguida, avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem inclinações horizontais, ou seja, onde a taxa de variação é zero, indicando possíveis máximos ou mínimos locais.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos dentro do intervalo , precisamos avaliar a função nesses pontos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos globais.
Vamos calcular para:

Passo 5

Vamos aos cálculos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Após calcular, os valores máximos e mínimos globais da função no intervalo são:
  • Máximo global:
  • Mínimo global:

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