Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e resolver se for o caso. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que envolvem verificar se uma certa condição de derivadas parciais é satisfeita para que a equação seja integrável diretamente. Vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for, encontrar sua solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial. Na forma padrão
, temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Vamos usar substituição. Seja
, então
. A integral fica:
Onde
é uma função de
.
Passo 5
Agora, para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Assim,
, o que significa que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
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