Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial é exata e resolver se for o caso. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que envolvem verificar se uma certa condição de derivadas parciais é satisfeita para que a equação seja integrável diretamente. Vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for, encontrar sua solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação diferencial. Na forma padrão , temos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Vamos usar substituição. Seja , então . A integral fica:
Onde é uma função de .

Passo 5

Agora, para determinar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Assim, , o que significa que é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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