Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.
sumn=3^infty 1n ln n[ln (ln n)]^p

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita:
sumn=3^infty 1n ln n[ln (ln n)]^p
O objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge. Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre séries infinitas e critérios de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para analisar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Integral. Esse teste é útil quando temos termos positivos e decrescentes, como é o caso aqui.

Passo 3

Para aplicar o Teste da Integral, consideramos a função correspondente:
f(x) = 1x ln x [ln (ln x)]^p
Vamos verificar se a integral de de 3 até o infinito converge.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral3^infty 1x ln x [ln (ln x)]^p , dx
Fazendo uma substituição para simplificar, deixamos du = 1ln x cdot 1x dx. Então,
1x ln x dx = du
Rearranjando, temos:

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral 1x ln x [ln (ln x)]^p dx = integral 1u^p du
Isso simplifica para:
integral u^-p du

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^-p du = u^1-p1 - p + C:
  • Se integral u^-1 du = ln |u| + C:
  • Se :

Passo 7

Analisando os dois casos:
  1. Quando :
    A integral converge se o expoente for negativo, ou seja, se .
  2. Quando :
    A integral é , que diverge quando tende ao infinito.

Passo 8

Portanto, a série original converge se e somente se .

Resposta

A série converge para todos os valores de maiores que 1.

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