Encontre os valores de
para os quais a série é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita:
O objetivo é descobrir para quais valores de
essa série converge. Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre séries infinitas e critérios de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, para analisar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Integral. Esse teste é útil quando temos termos positivos e decrescentes, como é o caso aqui.
Passo 3
Para aplicar o Teste da Integral, consideramos a função correspondente:
Vamos verificar se a integral de
de 3 até o infinito converge.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição para simplificar, deixamos
. Então,
Rearranjando, temos:
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
- Se
:
- Se
:
Passo 7
Analisando os dois casos:
-
Quando
: A integral converge se o expoentefor negativo, ou seja, se . -
Quando
: A integral é, que diverge quando tende ao infinito.
Passo 8
Portanto, a série original converge se e somente se
.
Resposta
A série converge para todos os valores de
maiores que 1.
Exercícios relacionados
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace
.
Mostre que, se queremos aproximar a soma da série
de maneira que o erro seja menor que 5 na nona
casa decimal, então precisamos somar mais que termos!
casa decimal, então precisamos somar mais que
Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Se o número de Mersenne
for primo, então, necessariamente, n deve ser primo. Dica: nos argumentos você deve usar a decomposição
pertencente aos N .