Mostre que, se queremos aproximar a soma da série sumn=1^infty n^-1,001 de maneira que o erro seja menor que 5 na nona sumn=1^infty n^-1,001
casa decimal, então precisamos somar mais que 10^11.301 termos!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que aproximar a soma da série sumn=1^infty n^-1,001 de um jeito que o erro dessa aproximação seja menor que 5 na nona casa decimal. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como estimar o erro quando truncamos a soma depois de um certo número de termos. Vamos usar conceitos de análise de séries e integrais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa aproximar a soma de uma série infinita. Quando somamos uma série como sumn=1^infty n^-1,001, estamos somando um número infinito de termos. Claro que na prática não dá pra somar infinitos termos, então a gente escolhe um ponto de parada, digamos N, e soma até esse termo: sumn=1^N n^-1,001. Mas aí temos um erro, que é a diferença entre a soma infinita e a soma até N.

Passo 3

Para garantir que esse erro seja menor que 5 times 10^-9 (que é o 5 na nona casa decimal), precisamos estimar quanto falta para além do termo N. Uma maneira eficaz de fazer isso é usando a chamada Integral Test, que relaciona séries infinitas com integrais.

Passo 4

O Integral Test nos diz que para uma função decrescente e positiva f(n), a soma sumn=N+1^infty f(n) está entre as integrais de f(x) de N a infty e de N+1 a infty. Ou seja:
integralN+1^infty f(x) , dx <= sumn=N+1^infty f(n) <= integralN^infty f(x) , dx
No nosso caso, f(n) = n^-1,001.

Passo 5

Vamos calcular a integral para estimar o erro. Calculando integralN^infty x^-1,001 , dx:
integralN^infty x^-1,001 , dx = [ x^-0,001-0,001 ]N^infty = N^-0,0010,001 = 1000 cdot N^-0,001
Queremos que esse valor seja menor que 5 times 10^-9:
1000 cdot N^-0,001 < 5 times 10^-9

Passo 6

Vamos resolver para N. Primeiro, isolamos N^-0,001:
N^-0,001 < 5 times 10^-91000 = 5 times 10^-12
Agora, tiramos logaritmo de ambos os lados para resolver para N:
-0,001 cdot ln(N) < ln(5 times 10^-12)
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre que isso inverte a desigualdade):
0,001 cdot ln(N) > -ln(5 times 10^-12)
ln(N) > -ln(5 times 10^-12)0,001

Passo 7

Calculando ln(5 times 10^-12):
ln(5) + ln(10^-12) approx 1,6094 - 27,6310 = -26,0216
Então:
ln(N) > 26,02160,001 = 26.0216 times 10^3 = 26021,6
Agora, para achar N:
N > e^26021,6

Passo 8

Como calcular e^26021,6 diretamente é inviável, vamos usar logaritmos de base 10 para simplificar:
Sabemos que ln(10) approx 2,3026, então:
log10(N) = ln(N)ln(10) > 26021,62,3026 approx 11298,7
Então:
N > 10^11298,7
Wait, isso dá um número absurdamente grande! Deve ter algo errado nas contas. Vamos revisar.

Passo 9

Ah, percebi o erro! Na etapa anterior, o valor de ln(5 times 10^-12) foi calculado incorretamente. Vamos refazer:
ln(5 times 10^-12) = ln(5) + ln(10^-12) approx 1,6094 - 27,6310 = -26,0216
Então:
ln(N) > 26,02160,001 = 26021,6
Convertendo para base 10:
log10(N) = 26021,62,3026 approx 11298,7
Portanto:
N > 10^11298,7
Isso ainda está muito grande, o que indica que para a precisão desejada, realmente precisamos de um número gigantesco de termos.

Resposta

Para garantir que o erro na aproximação da soma da série sumn=1^infty n^-1,001 seja menor que 5 na nona casa decimal, precisamos somar mais que 10^11298,7 termos.

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