Mostre que, se queremos aproximar a soma da série de maneira que o erro seja menor que 5 na nona
casa decimal, então precisamos somar mais que termos!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que aproximar a soma da série de um jeito que o erro dessa aproximação seja menor que 5 na nona casa decimal. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como estimar o erro quando truncamos a soma depois de um certo número de termos. Vamos usar conceitos de análise de séries e integrais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa aproximar a soma de uma série infinita. Quando somamos uma série como , estamos somando um número infinito de termos. Claro que na prática não dá pra somar infinitos termos, então a gente escolhe um ponto de parada, digamos , e soma até esse termo: . Mas aí temos um erro, que é a diferença entre a soma infinita e a soma até .

Passo 3

Para garantir que esse erro seja menor que (que é o 5 na nona casa decimal), precisamos estimar quanto falta para além do termo . Uma maneira eficaz de fazer isso é usando a chamada Integral Test, que relaciona séries infinitas com integrais.

Passo 4

O Integral Test nos diz que para uma função decrescente e positiva , a soma está entre as integrais de de a e de a . Ou seja:
No nosso caso, .

Passo 5

Vamos calcular a integral para estimar o erro. Calculando :
Queremos que esse valor seja menor que :

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Agora, tiramos logaritmo de ambos os lados para resolver para :
Multiplicando ambos os lados por (lembre que isso inverte a desigualdade):

Passo 7

Calculando :
Então:
Agora, para achar :

Passo 8

Como calcular diretamente é inviável, vamos usar logaritmos de base 10 para simplificar:
Sabemos que , então:
Então:
Wait, isso dá um número absurdamente grande! Deve ter algo errado nas contas. Vamos revisar.

Passo 9

Ah, percebi o erro! Na etapa anterior, o valor de foi calculado incorretamente. Vamos refazer:
Então:
Convertendo para base 10:
Portanto:
Isso ainda está muito grande, o que indica que para a precisão desejada, realmente precisamos de um número gigantesco de termos.

Resposta

Para garantir que o erro na aproximação da soma da série seja menor que 5 na nona casa decimal, precisamos somar mais que termos.

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