Mostre que, se queremos aproximar a soma da série
de maneira que o erro seja menor que 5 na nona
casa decimal, então precisamos somar mais que
termos!
casa decimal, então precisamos somar mais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que aproximar a soma da série
de um jeito que o erro dessa aproximação seja menor que 5 na nona casa decimal. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como estimar o erro quando truncamos a soma depois de um certo número de termos. Vamos usar conceitos de análise de séries e integrais para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa aproximar a soma de uma série infinita. Quando somamos uma série como
, estamos somando um número infinito de termos. Claro que na prática não dá pra somar infinitos termos, então a gente escolhe um ponto de parada, digamos
, e soma até esse termo:
. Mas aí temos um erro, que é a diferença entre a soma infinita e a soma até
.
Passo 3
Para garantir que esse erro seja menor que
(que é o 5 na nona casa decimal), precisamos estimar quanto falta para além do termo
. Uma maneira eficaz de fazer isso é usando a chamada Integral Test, que relaciona séries infinitas com integrais.
Passo 4
O Integral Test nos diz que para uma função decrescente e positiva
, a soma
está entre as integrais de
de
a
e de
a
. Ou seja:
No nosso caso,
.
Passo 5
Vamos calcular a integral para estimar o erro. Calculando
:
Queremos que esse valor seja menor que
:
Passo 6
Vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Agora, tiramos logaritmo de ambos os lados para resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
(lembre que isso inverte a desigualdade):
Passo 7
Calculando
:
Então:
Agora, para achar
:
Passo 8
Como calcular
diretamente é inviável, vamos usar logaritmos de base 10 para simplificar:
Sabemos que
, então:
Então:
Wait, isso dá um número absurdamente grande! Deve ter algo errado nas contas. Vamos revisar.
Passo 9
Ah, percebi o erro! Na etapa anterior, o valor de
foi calculado incorretamente. Vamos refazer:
Então:
Convertendo para base 10:
Portanto:
Isso ainda está muito grande, o que indica que para a precisão desejada, realmente precisamos de um número gigantesco de termos.
Resposta
Para garantir que o erro na aproximação da soma da série
seja menor que 5 na nona casa decimal, precisamos somar mais que
termos.
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.
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e
) ou
e
).