Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Se o número de Mersenne
for primo, então, necessariamente, n deve ser primo. Dica: nos argumentos você deve usar a decomposição
pertencente aos N .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Devemos demonstrar que se um número de Mersenne, dado por
, for primo, então necessariamente o expoente
também deve ser primo. Para isso, vamos usar o conceito de contrapositiva e uma decomposição algébrica específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Agora, a contrapositiva da afirmação que queremos provar é: “Se
não é primo, então
não é primo.” Demonstrar a contrapositiva é equivalente a demonstrar a afirmação original.
Passo 3
Suponha que
não seja primo. Isso significa que
pode ser escrito como o produto de dois inteiros maiores que 1, ou seja,
, onde
e
.
Passo 4
Agora, consideremos o número de Mersenne correspondente:
. Podemos reescrever isso como
.
Passo 5
Vamos aplicar a decomposição algébrica fornecida na dica:
Aqui,
e
. Então:
Passo 6
Observamos que a expressão
está fatorada como o produto de dois termos maiores que 1, já que
. Isso significa que
pode ser escrito como um produto de dois números inteiros maiores que 1, ou seja,
não é primo.
Passo 7
Concluímos, portanto, que se
não é primo, então
não é primo. Essa é a contrapositiva da afirmação original, o que nos permite concluir que se
é primo, então
deve ser primo.
Resposta
Se um número de Mersenne
é primo, então o expoente
também deve ser primo.
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e
).
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