Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Se o número de Mersenne Mn=2^wed>= n-1 for primo, então, necessariamente, n deve ser primo. Dica: nos argumentos você deve usar a decomposição A^wed>= r-1=(A^wed>=(r-1))(A^wed>=(r-1)+A^wed>=(r-2)+ldots+A+1), r pertencente aos N .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Devemos demonstrar que se um número de Mersenne, dado por Mn = 2^n - 1, for primo, então necessariamente o expoente n também deve ser primo. Para isso, vamos usar o conceito de contrapositiva e uma decomposição algébrica específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Agora, a contrapositiva da afirmação que queremos provar é: “Se n não é primo, então Mn não é primo.” Demonstrar a contrapositiva é equivalente a demonstrar a afirmação original.

Passo 3

Suponha que n não seja primo. Isso significa que n pode ser escrito como o produto de dois inteiros maiores que 1, ou seja, n = a times b, onde a, b in N e a, b > 1.

Passo 4

Agora, consideremos o número de Mersenne correspondente: Mn = 2^n - 1 = 2^a times b - 1. Podemos reescrever isso como (2^a)^b - 1.

Passo 5

Vamos aplicar a decomposição algébrica fornecida na dica:
A^r - 1 = (A^r-1) (A^r-1 + A^r-2 + ldots + A + 1)
Aqui, A = 2^a e r = b. Então:
(2^a)^b - 1 = (2^a(b-1))(2^a(b-1) + 2^a(b-2) + ldots + 2^a + 1)

Passo 6

Observamos que a expressão (2^a)^b - 1 está fatorada como o produto de dois termos maiores que 1, já que a, b > 1. Isso significa que Mn pode ser escrito como um produto de dois números inteiros maiores que 1, ou seja, Mn não é primo.

Passo 7

Concluímos, portanto, que se n não é primo, então Mn = 2^n - 1 não é primo. Essa é a contrapositiva da afirmação original, o que nos permite concluir que se Mn é primo, então n deve ser primo.

Resposta

Se um número de Mersenne Mn = 2^n - 1 é primo, então o expoente n também deve ser primo.

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