Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Se o número de Mersenne for primo, então, necessariamente, n deve ser primo. Dica: nos argumentos você deve usar a decomposição pertencente aos N .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Devemos demonstrar que se um número de Mersenne, dado por , for primo, então necessariamente o expoente também deve ser primo. Para isso, vamos usar o conceito de contrapositiva e uma decomposição algébrica específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Agora, a contrapositiva da afirmação que queremos provar é: “Se não é primo, então não é primo.” Demonstrar a contrapositiva é equivalente a demonstrar a afirmação original.

Passo 3

Suponha que não seja primo. Isso significa que pode ser escrito como o produto de dois inteiros maiores que 1, ou seja, , onde e .

Passo 4

Agora, consideremos o número de Mersenne correspondente: . Podemos reescrever isso como .

Passo 5

Vamos aplicar a decomposição algébrica fornecida na dica:
Aqui, e . Então:

Passo 6

Observamos que a expressão está fatorada como o produto de dois termos maiores que 1, já que . Isso significa que pode ser escrito como um produto de dois números inteiros maiores que 1, ou seja, não é primo.

Passo 7

Concluímos, portanto, que se não é primo, então não é primo. Essa é a contrapositiva da afirmação original, o que nos permite concluir que se é primo, então deve ser primo.

Resposta

Se um número de Mersenne é primo, então o expoente também deve ser primo.

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