Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace u_xx + u_yy = 0.
u(x, y) = x^3 - y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e queremos verificar se ela é uma solução da Equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , e então somá-las para ver se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , que é . Primeiro, encontramos a primeira derivada de em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , que é . Primeiro, encontramos a primeira derivada de em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Com e , vamos somar essas duas derivadas para verificar a Equação de Laplace:
Para que seja uma solução da Equação de Laplace, essa soma deve ser igual a zero para todos os valores de e .

Resposta

A soma não é igual a zero para todos os valores de e . Portanto, a função não é uma solução da Equação de Laplace.

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