Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e queremos verificar se ela é uma solução da Equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, e então somá-las para ver se o resultado é igual a zero.
Passo 2
Vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
. Primeiro, encontramos a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
. Primeiro, encontramos a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
Com
e
, vamos somar essas duas derivadas para verificar a Equação de Laplace:
Para que
seja uma solução da Equação de Laplace, essa soma deve ser igual a zero para todos os valores de
e
.
Resposta
A soma
não é igual a zero para todos os valores de
e
. Portanto, a função
não é uma solução da Equação de Laplace.
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