Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função
resolve a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial usada pra modelar como o calor se distribui ao longo do tempo num material. A equação do calor é dada por:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação ao tempo
, e
é a derivada parcial de segunda ordem de
em relação ao espaço
. A constante
é a difusividade térmica do material. Nosso objetivo é ver se, para algum valor de
, essa função
satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
. A função
tem
como parte que depende de
. Derivando isso em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de segunda ordem de
em relação a
. A função
é a parte que depende de
. A primeira derivada de
é
, e a segunda derivada é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação do calor para ver se ela se sustenta:
Substituindo:
Simplificando ambos os lados:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
, o que é válido aqui):
Resposta
A função
é solução da equação do calor com
.
Exercícios relacionados
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace
.
Prove que no Brasil existem pelo menos duas pessoas que nasceram no mesmo dia do mês, na mesma hora e no mesmo segundo. Dica: é preciso conhecer o número da população do Brasil e quantos segundos um ano tem.
Encontre os valores de
para os quais a série é convergente.
Mostre que, se queremos aproximar a soma da série
de maneira que o erro seja menor que 5 na nona
casa decimal, então precisamos somar mais que termos!
casa decimal, então precisamos somar mais que