Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor u_t = k u_xx, para alguma escolha conveniente de k.
u(x, t) = e^(-t) cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função resolve a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial usada pra modelar como o calor se distribui ao longo do tempo num material. A equação do calor é dada por:
Aqui, é a derivada parcial de em relação ao tempo , e é a derivada parcial de segunda ordem de em relação ao espaço . A constante é a difusividade térmica do material. Nosso objetivo é ver se, para algum valor de , essa função satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a derivada de em relação a . A função tem como parte que depende de . Derivando isso em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a derivada de segunda ordem de em relação a . A função é a parte que depende de . A primeira derivada de é , e a segunda derivada é . Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação do calor para ver se ela se sustenta:
Substituindo:
Simplificando ambos os lados:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que , o que é válido aqui):

Resposta

A função é solução da equação do calor com .

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