Suponha que são números positivos. Determine o que acontece com as seguintes sequências quando .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o que acontece com uma sequência quando o número de termos, representado por , cresce muito, praticamente vai para o infinito. O conteúdo aqui é sobre limites de sequências e vamos precisar entender um pouquinho sobre potências e como elas se comportam conforme o expoente aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sequência dada: . Aqui, é um número positivo e é o número do termo na sequência. Nosso objetivo é descobrir o que acontece com quando fica muito grande, ou seja, quando tende para o infinito.

Passo 3

Para resolver isso, vamos analisar diferentes casos para o valor de :
  1. Se :
    • Quando o número base é maior que 1, elevar a potências cada vez maiores faz com que cresça sem limites. Basicamente, cada vez que multiplicamos por ele mesmo mais uma vez, o resultado fica muito maior.
  2. Se :
    • Se for exatamente 1, independente de quantas vezes multiplicarmos 1 por ele mesmo, o resultado será sempre 1. Então, a sequência ficar�� constante.
  3. Se :
    • Aqui, é um número positivo menor que 1. Quando você multiplica números menores que 1 por eles mesmos várias vezes, o resultado diminui cada vez mais, aproximando-se de zero.

Passo 4

Vamos resumir cada caso:
  • Para : tende para infinito conforme aumenta.
  • Para : para todo , então a sequência permanece constante em 1.
  • Para : tende para 0 conforme aumenta.

Resposta

Dependendo do valor de :
  • Se , então tende para quando .
  • Se , então para todo .
  • Se , então tende para 0 quando .

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(g) .