Suponha que
são números positivos. Determine o que acontece com as seguintes sequências quando
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o que acontece com uma sequência quando o número de termos, representado por
, cresce muito, praticamente vai para o infinito. O conteúdo aqui é sobre limites de sequências e vamos precisar entender um pouquinho sobre potências e como elas se comportam conforme o expoente aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência dada:
. Aqui,
é um número positivo e
é o número do termo na sequência. Nosso objetivo é descobrir o que acontece com
quando
fica muito grande, ou seja, quando
tende para o infinito.
Passo 3
Para resolver isso, vamos analisar diferentes casos para o valor de
:
-
Se
: - Quando o número base
é maior que 1, elevar a potências cada vez maiores faz com que cresça sem limites. Basicamente, cada vez que multiplicamos por ele mesmo mais uma vez, o resultado fica muito maior.
- Quando o número base
-
Se
: - Se
for exatamente 1, independente de quantas vezes multiplicarmos 1 por ele mesmo, o resultado será sempre 1. Então, a sequência ficar�� constante.
- Se
-
Se
: - Aqui,
é um número positivo menor que 1. Quando você multiplica números menores que 1 por eles mesmos várias vezes, o resultado diminui cada vez mais, aproximando-se de zero.
- Aqui,
Passo 4
Vamos resumir cada caso:
- Para
: tende para infinito conforme aumenta. - Para
: para todo , então a sequência permanece constante em 1. - Para
: tende para 0 conforme aumenta.
Resposta
Dependendo do valor de
:
- Se
, então tende para quando . - Se
, então para todo . - Se
, então tende para 0 quando .
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(g) .
(g)